针对员工持续请病假的情况，公司需要综合考虑多个方面来妥善处理。以下是一些详细的建议和步骤，希望能为您提供清晰、有深度的解答：

一、了解医疗期规定

首先，公司需要明确员工所享有的医疗期。医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。医疗期的长度通常根据员工的工龄和在本单位的工作年限来确定，具体可参照当地劳动保障部门的规定。在医疗期内，员工享有病假工资和医疗保障等权益。

二、核实病假真实性

1. 要求提供医疗证明：员工请病假时，公司应要求其提供正规的医疗证明，如医院出具的病假单、诊断证明等。
2. 定期跟进病情：对于长期病假的员工，公司可以定期与其联系，了解病情恢复情况，并要求其提供最新的医疗证明。
3. 实地探访或视频确认：在必要时，公司可以安排人员实地探访员工，或通过视频通话等方式确认员工的病情和休息情况。

三、病假工资支付

1. 按照规定支付病假工资：在医疗期内，公司应按照当地劳动保障部门的规定支付员工病假工资。病假工资通常低于正常工资，但不得低于当地最低工资标准的80%。
2. 明确工资支付标准：公司应在员工手册或劳动合同中明确病假工资的支付标准和计算方式，以避免纠纷。

四、医疗期满后的处理

1. 评估员工工作能力：医疗期满后，公司应评估员工是否能够继续从事原工作或调整后的工作。如果员工无法从事任何工作，公司可以考虑与其解除劳动合同。
2. 协商解除劳动合同：在解除劳动合同前，公司应与员工进行协商，尽量达成一致意见。如果员工同意解除劳动合同，公司应按照法律规定支付经济补偿。
3. 依法解除劳动合同：如果员工不同意解除劳动合同，但确实无法继续工作，公司可以依法解除劳动合同，并提前通知员工或支付代通知金。

五、特殊情况处理

1. 员工滥用病假：如果公司发现员工滥用病假，如提供虚假医疗证明、在病假期间从事其他工作等，公司可以依据规章制度与其解除劳动合同，并要求其返还已支付的病假工资和福利。
2. 员工病情严重：对于病情严重、长期无法工作的员工，公司应给予更多的关怀和支持，如提供必要的医疗援助、协助申请社会救助等。

六、案例参考

以您提供的案例为例，S先生在病假期间考取了研究生并持续就读，且未向公司披露此情况。公司发现后，认为其行为严重违反了公司规章制度和诚实信用原则，最终与其解除了劳动合同并要求返还超额薪酬。这一案例表明，公司在处理员工病假问题时，应加强对员工病假期间的监督和管理，确保员工遵守公司规章制度和诚实信用原则。

七、建议与预防措施

1. 完善规章制度：公司应完善员工手册和劳动合同中的病假条款，明确病假的申请、审批、支付和解除等流程。
2. 加强员工培训：定期对员工进行劳动法律法规和公司规章制度的培训，提高员工的法律意识和合规意识。
3. 建立沟通机制：建立与员工的定期沟通机制，及时了解员工的病情和休息情况，避免误解和纠纷的发生。

综上所述，处理员工持续请病假的问题需要公司综合考虑多个方面，包括医疗期规定、病假真实性核实、病假工资支付、医疗期满后的处理以及特殊情况处理等。通过完善规章制度、加强员工培训和建立沟通机制等措施，公司可以更好地应对员工病假问题，维护公司的正常运营和员工的合法权益。