针对员工连续病假的情况，企业可以采取以下一系列措施来妥善处理：
一、病假工资与疾病救济费的支付
首先，企业需要明确病假工资和疾病救济费的支付标准。根据相关规定，员工疾病或非因工负伤连续休假在6个月以内的，企业应按照员工的连续工龄来支付疾病休假工资，具体标准如下：
若员工疾病或非因工负伤连续休假超过6个月，企业则需支付疾病救济费，标准如下：
同时，企业需注意，职工疾病休假工资或疾病救济费最低不得低于当年本市企业职工最低工资的80%，且这一最低标准中不包括应由职工个人缴交的养老、医疗、失业保险费和住房公积金。
二、病假证明的复核与要求
为了确保病假的真实性，企业有权对员工的病假证明进行复核。企业可以在制度中明确规定，要求员工提交病历本、病假证明、医药费单据等相关材料，以便对病假的真实性进行审查。若企业对员工的病假有合理怀疑，也可以在符合企业规章制度及不违背合理性、便利性、公平性等前提下，要求员工到指定医院进行复查。
此外，企业应要求员工提交符合规定的医院医生开具的病假证明，并附注医生的姓名和联系方式，以便企业进行核实。
三、定期探访生病员工
企业可以定期探访生病员工，这既体现了企业对员工的关爱，又能对员工的病假情况进行正常监控。通过探访，企业可以了解员工的病情恢复情况，以及是否需要进一步的帮助和支持。
四、明确虚假病假的处理规定
企业应在规章制度中明确虚假病假属于严重违反公司制度的行为，并规定一经发现可以辞退。这有助于维护企业的正常运营秩序，防止员工滥用病假制度。
综上所述，企业在处理员工连续病假的情况时，应综合考虑病假工资与疾病救济费的支付、病假证明的复核与要求、定期探访生病员工以及明确虚假病假的处理规定等方面，以确保企业的合法权益和员工的合理权益得到保障。