当您将私人租车借给别人并发生事故时，确实需要冷静、有序地按照一系列步骤来处理，以确保事故得到妥善解决，并最大限度保护您的合法权益。以下是我为您整理的详细处理流程：

一、确保安全与现场保护

1. 立即停车：事故发生后，首先要确保车辆停稳，并打开危险警示灯（双闪灯），以提醒其他车辆注意。
2. 设置警示标志：在车辆后方适当距离（城市道路50-100米，高速公路150米以上）放置三角警示牌，防止二次事故发生。
3. 检查伤员：迅速检查事故现场是否有人员受伤，如有，立即拨打120急救电话进行救治。

二、报警与通知相关方

1. 报警：拨打122或当地交警部门电话报案，详细说明事故发生的地点、时间、涉及车辆及人员伤亡情况。
2. 通知租车公司：及时告知租车公司事故的发生情况，并按照其指示进行操作。租车公司通常会提供必要的指导和协助，包括保险理赔流程等。
3. 通知保险公司：如果租车时购买了保险，应立即向保险公司报案，准确陈述事故发生的经过、时间、地点等信息，了解理赔流程和所需材料。

三、收集证据

1. 现场取证：利用手机或其他设备拍照或录像记录事故现场，包括车辆受损情况、事故发生位置、刹车痕迹及周边环境等。确保拍摄的照片清晰、全面。
2. 记录对方信息：记录对方车辆信息（车牌号、车型、颜色）及驾驶员信息（姓名、驾驶证号、联系方式），以便后续处理使用。
3. 获取目击证人信息：如有可能，获取目击证人的联系方式，以便在需要时提供证言。

四、配合交警调查与责任认定

1. 如实陈述：当交警到达现场后，应如实陈述事故发生经过，提供相关信息和证据。
2. 配合勘查：配合交警进行现场勘查、询问和记录等工作，以便交警能够准确判断事故责任。
3. 责任认定：根据交警部门出具的事故责任认定书，明确各方责任。根据《中华人民共和国民法典》规定，承租人作为车辆使用人，需承担相应赔偿责任。若您作为车主存在过错（如车辆安全隐患、未进行驾驶培训等），也需承担相应责任。

五、保险理赔与赔偿处理

1. 保险理赔：先由保险公司在机动车强制保险责任限额范围内予以赔偿。如果车辆还投保了商业保险（如第三者责任险），超出交强险责任限额的部分可按照商业保险合同的约定进行赔偿。
2. 超出保险部分的赔偿：对于保险赔偿不足的部分，由机动车使用人（即承租人）承担赔偿责任。如果您存在过错情形，要根据其过错程度承担相应的赔偿责任。

六、后续事宜处理

1. 车辆维修：与租车公司协商车辆的维修事宜。一般情况下，租车公司会指定维修地点，并根据事故责任的认定和保险赔偿情况来确定维修费用由谁承担。
2. 租车合同处理：事故可能会对租车合同的履行产生影响，如车辆停驶期间的租金计算、车辆折旧费等。应按照租车合同的约定和双方协商的结果妥善处理这些问题。
3. 保留单据：在整个处理过程中，应保留好所有与事故相关的单据和文件，如医疗费用发票、修车费用清单、事故责任认定书等，以备不时之需。

七、注意事项

1. 保持冷静：在处理事故过程中，保持冷静和理智，避免与对方当事人发生争执或冲突。
2. 法律途径：如果协商不成，可以通过法律途径解决纠纷，维护自己的合法权益。在此过程中，您可以寻求专业交通事故律师的咨询和帮助。

总之，当您将私人租车借给别人并发生事故时，应尽快采取措施保护现场、救治伤员、收集证据，并及时通知租车公司和保险公司。同时，配合交警调查，根据法律法规和合同约定妥善处理后续事宜。希望这些建议能对您有所帮助。