针对您提出的“学校和第三方签订的劳务派遣教师离职谁管”的问题，这主要涉及到劳务派遣关系中的管理责任和离职流程。以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确劳务派遣关系中的三方主体：学校（用工单位）、劳务派遣公司（用人单位）和被派遣的劳务派遣教师（劳动者）。在这三方关系中，劳务派遣公司与被派遣教师签订劳动合同，建立劳动关系，并负责被派遣教师的日常管理、工资发放、社保缴纳等事宜。而学校则作为用工单位，负责被派遣教师的工作安排、岗位管理以及安全生产等。
关于离职管理：
离职申请与审批：
- 被派遣教师如需离职，应首先向劳务派遣公司提出离职申请，并按照劳务派遣公司与学校签订的劳务派遣协议以及劳务派遣公司与被派遣教师签订的劳动合同中的相关规定，履行离职手续。
- 劳务派遣公司在收到离职申请后，会与学校进行沟通，确认离职事宜，并根据协议规定处理相关事宜，如工作交接、工资结算等。
学校与劳务派遣公司的责任划分：
- 学校作为用工单位，主要负责被派遣教师的工作安排和岗位管理，不直接涉及被派遣教师的离职审批流程。但学校有权对被派遣教师的工作表现进行评价，并将评价结果反馈给劳务派遣公司，作为劳务派遣公司管理被派遣教师的参考。
- 劳务派遣公司作为用人单位，负责被派遣教师的离职审批流程，包括审核离职申请、办理离职手续、结算工资和社保等。
离职后的权益保障：
- 被派遣教师在离职后，其工资、社保等权益应由劳务派遣公司负责保障。如被派遣教师在离职过程中遇到权益受损的情况，可以向劳务派遣公司提出申诉，并寻求法律援助。
- 学校作为用工单位，应协助劳务派遣公司做好被派遣教师的离职工作，确保工作交接的顺利进行，并保障学校教学工作的正常开展。
特殊情况处理：
- 如被派遣教师在离职过程中与劳务派遣公司或学校发生争议，可以首先尝试通过协商解决。协商不成的，可以向相关部门申请调解或仲裁。根据《人事争议处理规定》等相关法律法规，当事人有权通过法律途径维护自身合法权益。
综上所述，学校和第三方签订的劳务派遣教师的离职管理主要由劳务派遣公司负责。学校作为用工单位，应协助劳务派遣公司做好离职工作，并保障学校教学工作的正常开展。如被派遣教师在离职过程中遇到问题或争议，可以寻求法律援助或向相关部门申请调解或仲裁。