劳务派遣的老师并非完全由学校不管，具体管理责任需根据劳务派遣协议及相关法律法规来确定。以下从不同角度为您详细分析：
一、劳务派遣的基本法律关系
在劳务派遣中，存在三方主体：劳务派遣单位（即用人单位）、用工单位（如学校）和劳动者（如劳务派遣的老师）。劳务派遣单位与劳动者签订劳动合同，建立劳动关系，并承担用人单位的法定责任，如支付工资、缴纳社会保险等。用工单位则根据与劳务派遣单位签订的劳务派遣协议，使用劳动者完成特定工作任务，并对劳动者进行日常管理和工作安排。
二、学校的管理责任
日常管理和工作安排：
- 学校作为用工单位，有权对劳务派遣的老师进行日常管理和工作安排，包括教学任务的分配、教学计划的制定、教学质量的监督等。
- 学校应当为劳务派遣的老师提供必要的工作条件和劳动保护，确保其能够正常履行工作职责。
劳动报酬和福利待遇：
- 根据劳务派遣协议，劳务派遣的老师的劳动报酬和福利待遇通常由劳务派遣单位负责支付和提供。但学校作为用工单位，也可能根据协议约定承担部分或全部费用。
- 学校应当确保劳务派遣的老师享有与正式员工同等的劳动报酬和福利待遇标准（若协议有约定或法律法规有规定），不得歧视或克扣。
劳动争议处理：
- 当劳务派遣的老师与劳务派遣单位或学校发生劳动争议时，学校应当积极参与争议处理，提供必要的协助和支持。
- 学校可以协助劳务派遣的老师与劳务派遣单位进行沟通协商，寻求妥善解决方案。若争议无法解决，学校也可以作为第三方参与劳动争议仲裁或诉讼程序。
三、劳务派遣单位的管理责任
劳动合同签订和履行：
- 劳务派遣单位作为用人单位，应当与劳务派遣的老师签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。
- 劳务派遣单位应当按照劳动合同约定支付劳动报酬、缴纳社会保险等费用，并履行其他法定责任。
劳动争议处理：
- 当劳务派遣的老师与用工单位（学校）发生劳动争议时，劳务派遣单位应当作为一方当事人参与争议处理。
- 劳务派遣单位应当积极维护劳务派遣的老师的合法权益，协助其解决劳动争议问题。
四、特殊情况下的管理责任划分
劳务派遣协议约定：
- 劳务派遣协议是明确劳务派遣单位和用工单位之间权利义务关系的重要文件。协议中可以约定双方在管理劳务派遣老师方面的具体责任和分工。
- 若协议中有明确约定，则按照协议约定执行；若协议无约定或约定不明确，则根据相关法律法规和实际情况进行划分。
法律法规规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规的规定，劳务派遣单位和用工单位应当共同承担对劳务派遣劳动者的管理责任。
- 当劳务派遣的老师发生工伤、职业病等情形时，劳务派遣单位和用工单位应当共同承担相应的法律责任和赔偿责任。
五、建议与总结
- 对于劳务派遣的老师：建议您在签订劳动合同时仔细阅读合同条款，了解自己的权利和义务。在工作中积极与学校和劳务派遣单位沟通协商，维护自己的合法权益。若发生劳动争议问题，可以寻求法律援助或咨询专业律师（如我）的意见。
- 对于学校和劳务派遣单位：建议双方在签订劳务派遣协议时明确各自的管理责任和分工，避免出现管理真空或责任推诿的情况。同时，双方应当加强沟通协作，共同为劳务派遣的老师提供良好的工作环境和条件。
总之，劳务派遣的老师并非完全由学校不管，而是根据劳务派遣协议及相关法律法规来确定具体的管理责任。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。