留置人员被留置三个月后进入检察院阶段，在以下情况下检察院可能会出具不起诉决定：
证据不足或事实不清：
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百七十五条，人民检察院审查案件时，如果认为证据不足，不符合起诉条件的，应当作出不起诉的决定。
- 具体情形：这包括证据不充分、证据之间存在矛盾无法排除、证据收集程序违法导致证据无效等。例如，如果关键证人的证言存在矛盾，或者物证、书证的来源不明，都可能导致证据不足，从而检察院作出不起诉决定。
犯罪情节轻微，依照刑法规定不需要判处刑罚或免除刑罚：
- 法律依据：同样依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百七十七条，对于犯罪情节轻微，依照刑法规定不需要判处刑罚或者免除刑罚的，人民检察院可以作出不起诉决定。
- 具体情形：这通常涉及犯罪行为的性质、情节、后果以及犯罪嫌疑人的主观恶性、悔罪表现等因素。例如，如果犯罪嫌疑人初次犯罪，且犯罪情节较轻，有悔罪表现，并积极赔偿被害人损失，取得被害人谅解，检察院可能会考虑作出不起诉决定。
犯罪已过追诉时效期限：
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第十六条，犯罪已过追诉时效期限的，不追究刑事责任，已经追究的，应当撤销案件，或者不起诉，或者终止审理，或者宣告无罪。
- 具体情形：如果犯罪行为发生在很久以前，且已经超过了法律规定的追诉时效期限，那么检察院将不再追究犯罪嫌疑人的刑事责任，而是作出不起诉决定。
经特赦令免除刑罚：
- 法律依据：同样依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第十六条，经特赦令免除刑罚的，不追究刑事责任，已经追究的，应当撤销案件，或者不起诉，或者终止审理，或者宣告无罪。
- 具体情形：如果犯罪嫌疑人获得了国家的特赦令，那么其刑罚将被免除，检察院也将作出不起诉决定。
犯罪嫌疑人死亡：
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第十六条，犯罪嫌疑人、被告人死亡的，不追究刑事责任，已经追究的，应当撤销案件，或者不起诉，或者终止审理，或者宣告无罪。
- 具体情形：如果犯罪嫌疑人在案件审查过程中死亡，那么检察院将不再追究其刑事责任，而是作出不起诉决定。
在留置人员被留置三个月后进入检察院阶段，如果检察院认为案件符合上述任一情形，都有可能作出不起诉决定。但需要注意的是，不起诉决定并不意味着犯罪嫌疑人完全无罪或不受任何处罚，而是基于当前证据和法律规定，检察院认为不需要或不宜追究其刑事责任。
此外，如果留置人员或其家属对检察院的决定有异议，可以依法申请复议或申诉。在处理此类案件时，建议留置人员或其家属及时咨询专业律师，以便更好地了解案件进展和自身权益。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。