结论：公司辞退一名在公司工作了六年的员工，可能基于多种原因，这些原因决定了员工可能享有的权益和公司的责任。具体来说，辞退原因可分为违法辞退、合法辞退但需支付经济补偿、以及员工存在严重过错无需支付补偿三种情况。
一、违法辞退
情形判断：如果公司没有合法合理的理由单方面解除劳动合同，比如员工不存在严重违反规章制度、失职等法定过错情形，那么公司的辞退行为可能构成违法辞退。
法律后果：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。对于工作了六年的员工，经济补偿金为6个月工资，因此违法辞退的赔偿金为12个月工资。
应对策略：员工应首先与公司沟通，明确辞退原因，并核实公司的辞退行为是否符合法律规定。如果确认公司违法辞退，员工可以收集证据，如劳动合同、工资单、辞退通知书等，向当地劳动监察部门投诉或向劳动人事争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付赔偿金。
二、合法辞退（但需支付经济补偿）
情形判断：公司可能因经济性裁员、员工非过错性情形（如不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的）等，按法定程序辞退员工。
法律后果：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。对于工作了六年的员工，经济补偿金为6个月工资。
应对策略：员工应与公司沟通，了解辞退的具体原因和程序，并确认公司是否按照法律规定支付了经济补偿。如果公司未支付或支付不足，员工可以与公司协商，要求补足经济补偿；协商无果的，可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
三、无补偿辞退（员工存在严重过错）
情形判断：如果员工存在严重违反规章制度、失职、营私舞弊等法定过错情形，公司有权解除劳动合同且无需支付经济补偿。
法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，规定了用人单位可以解除劳动合同且无需支付经济补偿的六种情形。
应对策略：如果员工认为自己并未存在严重过错，而公司却以此为由辞退，员工可以收集证据证明自己的清白，如工作记录、同事证言等，并向公司提出异议。如果公司坚持辞退且不支付经济补偿，员工可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
四、经济补偿的计算标准
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。对于工作了六年的员工，经济补偿金为6个月工资。如果公司违法辞退，则需支付双倍经济补偿金，即12个月工资。
示例说明：假设员工月工资为5000元，工作了六年，那么：
建议：面对公司辞退的决定，员工应保持冷静，了解自己的权益和辞退的具体原因。通过核实辞退的合法性、收集证据并准备应对，以及采取必要的法律途径来维护自己的合法权益。在整个过程中，保持冷静和理性至关重要。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。