公司续签三次劳动合同后，并不意味着自动转为永久合同（无固定期限劳动合同），但满足一定条件时，劳动者有权要求签订无固定期限劳动合同。以下是对这一问题的详细分析：
一、无固定期限劳动合同的签订条件
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，无固定期限劳动合同的签订通常需要满足以下条件之一：
劳动者在该用人单位连续工作满十年：如果劳动者在用人单位连续工作了十年，且提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年：在这种情况下，劳动者也有权要求签订无固定期限劳动合同。
连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的：如果劳动者与用人单位已经连续订立了两次固定期限劳动合同，且劳动者没有严重违反用人单位的规章制度、不能胜任工作等情形，那么在续订劳动合同时，劳动者有权要求签订无固定期限劳动合同。这里需要注意的是，是“连续订立二次”后，第三次续订时满足条件可要求无固定期限，而非续签三次就自动转为无固定期限。
二、续签三次后的具体情况分析
如果每次续签都是固定期限劳动合同，且不满足上述无固定期限劳动合同的签订条件：那么，即使续签了三次，劳动合同也不会自动转为无固定期限劳动合同。每次续签后，劳动合同仍然按照约定的固定期限执行。
如果满足无固定期限劳动合同的签订条件：在续签第三次劳动合同时，劳动者有权要求签订无固定期限劳动合同。如果用人单位拒绝签订，劳动者可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位签订无固定期限劳动合同或支付相应的经济补偿。
三、法律建议
了解自身权益：劳动者应了解自己的工作年限和劳动合同签订情况，判断是否满足签订无固定期限劳动合同的条件。
与用人单位沟通：在续签劳动合同时，劳动者可以与用人单位沟通自己的意愿和权益，要求签订无固定期限劳动合同（如果满足条件）。
寻求法律援助：如果用人单位拒绝签订无固定期限劳动合同或存在其他违法行为，劳动者可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。
举例说明：假设劳动者小张在某公司连续工作了八年，已经与公司签订了两次固定期限劳动合同。在第三次续签劳动合同时，小张有权要求签订无固定期限劳动合同。如果公司拒绝签订，小张可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司签订无固定期限劳动合同或支付相应的经济补偿。
希望以上分析能对您有所帮助。如果您在劳动工伤方面还有其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。