结论：在您刚与建设银行签订劳动合同一个月就收到事业编公示的情况下，您可以解除与建设银行的劳动合同，但需遵循一定的法律程序和规定，并可能需承担一定的法律后果。
分析说明：
劳动合同解除的法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者在试用期内提前三日通知用人单位，可以解除劳动合同。虽然您已签订劳动合同一个月，但若仍在试用期内，则适用此条款。
- 若您已过试用期，根据《劳动合同法》第三十七条，劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。这是劳动者单方解除劳动合同的一般规定。
事业编公示的影响：
- 事业编公示通常意味着您已被某事业单位录用，并即将签订新的劳动合同或形成新的劳动关系。在此情况下，您需要解除与建设银行的现有劳动合同，以便与新单位建立劳动关系。
解除劳动合同的程序：
- 试用期内的解除：如果您仍在试用期内，可以提前三日通知建设银行解除劳动合同。
- 试用期外的解除：如果您已过试用期，则需要提前三十日以书面形式通知建设银行解除劳动合同。
- 通知方式：无论是试用期还是试用期外，都建议采用书面形式通知，并保留好通知的证据，如邮件、快递单等。
可能承担的法律后果：
- 违约金：根据《劳动合同法》的规定，除非您与建设银行在劳动合同中约定了服务期或竞业限制条款，并违反了这些条款，否则您无需支付违约金。
- 赔偿损失：如果您因解除劳动合同给建设银行造成了实际损失（如招聘费用、培训费用等），且这些损失是由于您的违约行为导致的，建设银行可能要求您赔偿。但这种情况较为少见，且需要建设银行提供充分的证据。
行动建议：
- 查看劳动合同：首先，仔细查看您与建设银行签订的劳动合同，了解其中关于解除劳动合同的条款和约定。
- 与建设银行沟通：在决定解除劳动合同前，与建设银行的人力资源部门或相关负责人进行沟通，说明您的情况和意愿，并了解解除劳动合同的具体程序和要求。
- 书面通知：按照法律规定的程序，以书面形式通知建设银行解除劳动合同，并保留好通知的证据。
- 办理离职手续：在解除劳动合同后，按照建设银行的要求办理离职手续，如交接工作、归还公司财物等。
特殊场景：
- 如果您与建设银行在劳动合同中约定了特殊条款（如服务期、竞业限制等），且这些条款与您解除劳动合同的意愿相冲突，您需要仔细评估这些条款的法律效力和可能带来的法律后果。在这种情况下，建议您在解除劳动合同前咨询专业律师的意见。
后续思考：
- 在解除劳动合同后，您需要关注与新单位（事业单位）的劳动合同签订和劳动关系建立问题。确保您与新单位的劳动合同条款清晰、合法，并了解您的权利和义务。
- 如果您在解除劳动合同过程中遇到任何问题或纠纷（如建设银行拒绝解除劳动合同、要求支付违约金等），您可以及时向我咨询，我会根据您的具体情况提供法律建议和帮助。