结论：交通肇事罪逃逸后被抓住，当场否认是司机但之后供述了全部犯罪事实的情况，在法律上会有相应的处理方式和后果。以下从法律背景、法律建议和可能的法律后果三个角度进行详细分析。

法律背景：

1. 交通肇事罪：根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，构成交通肇事罪。

2. 逃逸行为：交通肇事后逃逸，是交通肇事罪的加重情节。逃逸不仅是对受害者生命安全的漠视，也是对社会秩序的破坏，因此法律对逃逸行为有更为严厉的处罚。

3. 自首与坦白：在犯罪后，如果犯罪嫌疑人能够自动投案并如实供述自己的罪行，构成自首，可以从轻或者减轻处罚。如果犯罪嫌疑人被抓获后，如实供述自己的罪行，构成坦白，也可以从轻处罚。

法律建议：

1. 如实供述：既然已经供述了全部犯罪事实，这是正确的做法。如实供述有助于法院查明事实真相，也有助于犯罪嫌疑人获得从轻处罚的机会。

2. 积极配合调查：在后续的调查过程中，应积极配合公安机关的工作，提供必要的证据和信息，以证明自己的犯罪情节和悔罪态度。

3. 寻求法律援助：鉴于交通肇事罪的严重性和复杂性，建议尽快寻求专业律师的法律援助。律师可以提供专业的法律意见，帮助犯罪嫌疑人更好地应对法律程序。

可能的法律后果：

1. 刑事处罚：根据犯罪情节的严重程度，犯罪嫌疑人可能会面临有期徒刑、拘役或者罚金等刑事处罚。由于存在逃逸行为，处罚可能会相对较重。

2. 自首与坦白的从轻处理：如果犯罪嫌疑人能够如实供述自己的罪行，并表现出悔罪态度，法院在量刑时可能会考虑从轻或者减轻处罚。但需要注意的是，自首与坦白只是量刑时的考虑因素，并不能完全免除刑事处罚。

3. 民事赔偿：除了刑事处罚外，犯罪嫌疑人还可能需要承担民事赔偿责任，包括赔偿受害者的医疗费、误工费、残疾赔偿金等。

额外提醒：

• 在整个法律程序中，务必保持冷静和理智，不要因为情绪激动而做出不利于自己的陈述或行为。
• 密切关注案件的进展情况，及时与律师沟通，了解自己的权利和义务。

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