结论：即使幼儿园没有与您签订合同且您已被辞退，您仍然有权要求对方开具离职证明。离职证明是证明您与原单位劳动关系终止的重要文件，对于您后续找工作、办理社保转移等事项都至关重要。
法律背景与依据：
离职证明的法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条的规定，用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。这一规定并未以签订书面劳动合同为前提，因此，即使未签订合同，用人单位也有义务开具离职证明。
未签订合同不影响离职证明的开具：
- 劳动合同的签订是用人单位与劳动者之间建立劳动关系的法律形式，但并非唯一形式。即使未签订书面劳动合同，只要双方存在事实劳动关系，用人单位就应当承担相应的法律责任，包括开具离职证明。
法律建议：
与幼儿园协商：
- 首先，您可以尝试与幼儿园进行友好协商，明确要求其开具离职证明。在协商过程中，您可以引用上述法律依据，说明开具离职证明是用人单位的法定义务。
向劳动监察部门投诉：
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行查处，并可以责令用人单位开具离职证明。
申请劳动仲裁：
- 如果劳动监察部门的处理未能满足您的需求，您还可以向劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。在仲裁过程中，您需要提供证据证明您与幼儿园之间存在事实劳动关系，以及幼儿园未开具离职证明的事实。仲裁委员会将根据事实和法律作出裁决，要求幼儿园开具离职证明。
可能面临的法律后果：
- 如果幼儿园拒绝开具离职证明，您可能会面临一些不便，如难以证明与原单位的劳动关系终止、难以办理社保转移等。但通过上述法律途径，您通常能够维护自己的合法权益，获得离职证明。
额外提醒：
- 在处理此类问题时，建议您保留好与幼儿园之间的沟通记录、工作证明等相关证据，以便在需要时提供证明。
- 如果您对法律程序不熟悉或担心自己处理不当，可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。