结论：司机申请挂靠物流公司申报工伤时，是否需要证明与私人老板之间的劳动关系，需分情况讨论。若司机与物流公司存在事实劳动关系，则无需额外证明与私人老板的关系；若司机实际受雇于私人老板，则需证明与私人老板的劳动关系，或通过其他途径证明工伤事实。

分析：

1. 司机与物流公司存在事实劳动关系：

   • 若司机虽挂靠物流公司，但实际上与物流公司存在事实劳动关系（如接受物流公司管理、由物流公司发放工资等），则司机可直接向物流公司主张工伤赔偿，无需额外证明与私人老板的关系。
   • 法律依据：根据《工伤保险条例》第十四条，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。此处“职工”包括与用人单位存在事实劳动关系的劳动者。

2. 司机实际受雇于私人老板：

   • 若司机实际受雇于私人老板，与物流公司仅为挂靠关系，则司机需证明与私人老板之间的劳动关系，以便向私人老板主张工伤赔偿。
   • 证明劳动关系的方式：
     • 劳动合同：若司机与私人老板签订了书面劳动合同，则可直接作为证明劳动关系的证据。
     • 工资支付记录：如银行转账记录、工资条等，可证明私人老板向司机支付工资的事实。
     • 工作证、服务证等：若司机持有私人老板发放的工作证、服务证等，也可作为证明劳动关系的辅助证据。
     • 证人证言：如其他同事、客户等的证言，可证明司机与私人老板之间的劳动关系。
   • 特殊情况：若司机无法证明与私人老板的劳动关系，但能证明工伤事实（如事故发生时间、地点、原因等），且私人老板未提出相反证据，则司法实践中可能根据《工伤保险条例》第十九条的举证责任倒置规则，认定司机与私人老板之间存在劳动关系。

3. 挂靠关系的法律影响：

   • 挂靠关系本身并不改变司机与实际雇主（物流公司或私人老板）之间的劳动关系。若司机因挂靠关系而无法明确实际雇主，则可能面临工伤赔偿的困难。
   • 建议：司机在挂靠物流公司时，应明确与物流公司及私人老板之间的法律关系，签订书面协议，以避免未来可能出现的法律纠纷。

实务建议：

1. 及时申请工伤认定：司机应在事故发生后30日内（或由近亲属、工会组织在1年内）向社会保险行政部门提出工伤认定申请，以保障自身权益。
2. 收集证据：司机应尽可能收集与劳动关系及工伤事实相关的证据，如劳动合同、工资支付记录、工作证、证人证言等。
3. 咨询专业律师：若司机在工伤认定或赔偿过程中遇到困难，应及时咨询专业律师，以便获得更具体的法律建议和支持。

总结：司机申请挂靠物流公司申报工伤时，是否需要证明与私人老板之间的劳动关系，取决于司机与物流公司及私人老板之间的实际法律关系。司机应根据自身情况，及时收集证据并申请工伤认定，以保障自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。