结论：交通事故达成口头协议私了后，一方不履行，另一方是可以申请立案的，但具体能否立案及后续处理方式，需根据实际情况来判断。
分析说明：
口头协议的法律效力：
- 口头协议，只要双方意思表示真实，且不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗，就是具有法律效力的。在交通事故中，如果双方就赔偿事宜达成了口头协议，那么该协议对双方都具有约束力。
一方不履行的处理方式：
- 如果一方不履行口头协议，另一方可以首先尝试与对方协商，看是否能够达成新的和解或者履行原协议。
- 如果协商无果，另一方可以向人民法院提起诉讼，要求对方履行协议或者赔偿损失。在此情况下，需要提供证据证明双方确实达成了口头协议，以及对方未履行协议的事实。这些证据可以包括证人证言、录音录像、短信微信等聊天记录等。
申请立案的注意事项：
- 在申请立案时，需要向法院提交起诉状，明确诉讼请求、事实和理由，并附上相关证据材料。
- 法院在受理案件后，会进行审查，如果认为符合立案条件，就会予以立案，并通知双方当事人进行开庭审理。
- 在庭审过程中，双方需要就自己的主张进行举证和质证，法院会根据事实和法律规定作出判决。
可能面临的法律后果：
- 如果法院判决对方履行协议或者赔偿损失，而对方仍然不履行，那么另一方可以申请法院强制执行。
- 如果对方在履行过程中存在恶意逃避、转移财产等行为，还可能面临法律制裁，如被列入失信被执行人名单等。
行动建议：
- 在达成口头协议时，尽量要求对方出具书面凭证或者进行录音录像，以便在后续发生纠纷时作为证据使用。
- 如果一方不履行口头协议，及时收集证据并咨询专业律师，了解具体的法律程序和维权方式。
- 在申请立案前，可以尝试通过调解、仲裁等方式解决纠纷，以节省时间和成本。
特殊场景提醒：
- 如果交通事故涉及人员伤亡或者重大财产损失，建议尽快报警并由交警部门出具事故责任认定书，以便在后续处理中作为重要依据。
- 在处理交通事故纠纷时，要保持冷静和理性，避免情绪化行为导致纠纷升级或者错失维权时机。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。