结论：若城管下达强制拆除通知书后却不执行，可通过申请行政复议、提起行政诉讼、向上级部门投诉举报等方式促使城管履行法定职责。以下是详细分析：

1. 申请行政复议

   • 法律依据：根据《中华人民共和国行政复议法》相关规定，公民、法人或者其他组织认为具体行政行为侵犯其合法权益的，可以自知道该具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请。城管下达强制拆除通知书却不执行，属于不履行法定职责的行为，相对人可以申请行政复议。
   • 操作流程：准备好相关材料，包括强制拆除通知书、能证明城管未执行该通知的证据（如现场照片、视频等）、身份证明等，向有管辖权的行政复议机关（一般是作出该具体行政行为的城管部门的上一级主管部门或者本级人民政府）提交行政复议申请书，请求复议机关责令城管部门履行法定职责。
   • 效果：行政复议机关受理申请后，会对城管部门的行为进行审查。如果认定城管部门确实存在不履行法定职责的情形，会作出责令其限期履行的行政复议决定。

2. 提起行政诉讼

   • 法律依据：依据《中华人民共和国行政诉讼法》，公民、法人或者其他组织认为行政机关和行政机关工作人员的行政行为侵犯其合法权益，有权依照本法向人民法院提起诉讼。城管不执行强制拆除通知书的行为，相对人可以向法院提起行政诉讼。
   • 操作流程：撰写行政起诉状，准备好相关证据材料，向有管辖权的人民法院（一般是城管部门所在地或者不动产所在地的基层人民法院）提起诉讼。法院受理案件后，会依法进行审理。
   • 效果：如果法院经审理认为城管部门不履行法定职责的行为违法，会判决城管部门在一定期限内履行职责。

3. 向上级部门投诉举报

   • 法律依据：根据相关行政监督规定，公民有权对行政机关及其工作人员的不作为等违法行为进行投诉举报。
   • 操作流程：可以通过书信、电子邮件、电话等方式向城管部门的上级主管部门或者纪检监察部门进行投诉举报，详细说明城管下达强制拆除通知书却不执行的情况，并提供相关证据。
   • 效果：上级部门或者纪检监察部门会对投诉举报内容进行调查核实。如果情况属实，会对城管部门相关责任人进行问责，并督促城管部门履行法定职责。