结论：若起诉被告承担第三人替代履行费用而被告不认可该费用，您可以从以下几个方面着手处理：一是通过证据证明费用的合理性与必要性；二是依据合同条款或法律规定主张权利；三是考虑通过调解或诉讼途径解决争议。以下是对这些方面的详细阐述：

1. 证明费用的合理性与必要性

   • 收集证据：首先，您需要收集所有与第三人替代履行相关的证据，包括但不限于合同、发票、付款记录、沟通记录等，以证明该费用的实际发生及其金额。
   • 证明必要性：您还需要证明该替代履行是必要的，即原履行方式因被告的原因无法实现，且替代履行是合理且经济的选择。这可能需要您提供专家意见、市场行情等证据来支持。

2. 依据合同条款或法律规定主张权利

   • 合同条款：检查您与被告之间的合同，看是否有关于替代履行的明确约定。如果合同中有相关条款，您可以依据这些条款来主张被告应承担替代履行费用。
   • 法律规定：如果合同中没有明确约定，您可以依据相关法律规定来主张权利。例如，根据《中华人民共和国民法典》中关于合同履行和违约责任的规定，如果被告的行为构成违约，且该违约行为导致您不得不采取替代履行措施，那么您有权要求被告承担因此产生的费用。

3. 考虑调解或诉讼途径解决争议

   • 调解：在提起诉讼之前，您可以考虑与被告进行调解。调解是一种快速、经济且保密的解决争议方式，通过双方协商达成一致意见，可以避免诉讼带来的时间和金钱成本。
   • 诉讼：如果调解无果，您可以向法院提起诉讼，要求被告承担第三人替代履行费用。在诉讼过程中，您需要提交上述证据来支持您的主张，并接受法院的审理和判决。

额外建议：

• 咨询专业律师：虽然我在这里为您提供了一些基本的法律建议，但每个案件的具体情况都有所不同。因此，我建议您在处理此类争议时咨询专业律师，以便获得更具体、更个性化的法律建议。
• 保持沟通：在处理争议的过程中，保持与被告的沟通是非常重要的。通过沟通，您可以更好地了解被告的立场和诉求，从而找到更合理的解决方案。

可能后果：

• 如果您能够成功证明费用的合理性与必要性，并依据合同条款或法律规定主张权利，那么法院可能会支持您的诉求，要求被告承担第三人替代履行费用。
• 如果您无法提供足够的证据来支持您的主张，或者合同中没有明确约定相关条款，那么法院可能会驳回您的诉求，或者要求您承担部分或全部费用。

希望以上建议能对您有所帮助。如果您有任何其他法律问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。