结论：这种情况是否构成敲诈勒索，不能一概而论，需要结合具体行为细节和法律规定来判断。以下从不同角度进行分析：
一、敲诈勒索的构成要件
敲诈勒索是指以非法占有为目的，对被害人使用实施恐吓、威胁或要挟的方法，非法占用被害人公私财物，从而构成犯罪。其构成要件主要包括：
- 主观方面：具有非法占有的目的。
- 客观方面：实施了恐吓、威胁或要挟的行为，且这些行为足以使被害人产生恐惧心理，进而交付财物。
二、针对您描述的情况分析
若儿子并未参与打人行为，且不知情：
- 在这种情况下，如果打人者（即“老子”）因无法找到而转而向其儿子索取医疗费，且儿子并未参与打人行为，对打人事件也不知情，那么这种索取行为很可能构成敲诈勒索。因为儿子没有法律义务为父亲的打人行为承担医疗费用，打人者通过向儿子索取费用，实际上是在试图非法占有儿子的财产。
若儿子知情且愿意承担部分或全部责任：
- 如果儿子知情并愿意承担部分或全部医疗费用，那么这种索取行为就不构成敲诈勒索。因为儿子是自愿交付财物的，没有受到恐吓、威胁或要挟。但这种情况在实际操作中较为复杂，因为通常儿子没有法律义务为父亲的违法行为承担责任，除非存在特定的法律关系（如父子共同侵权等）。
索取行为的方式和程度：
- 即使儿子有某种程度的责任或关联，打人者索取医疗费的方式和程度也至关重要。如果打人者采用恐吓、威胁或要挟等非法手段，迫使儿子交付财物，那么这种行为仍然构成敲诈勒索。
三、法律建议
- 保留证据：如果儿子认为自己的权益受到侵害，应尽快收集并保留相关证据，如通话记录、短信、邮件等，以证明打人者的索取行为是非法和不当的。
- 及时报警：在保留证据的同时，儿子应及时向当地公安机关报案，说明情况并寻求帮助。
- 咨询专业律师：由于法律问题的复杂性和专业性，建议儿子在处理此类事件时咨询专业律师的意见，以便更好地维护自己的合法权益。
四、可能的法律后果
如果打人者的行为被认定为敲诈勒索，那么他将面临刑事处罚，包括有期徒刑、拘役或罚金等。同时，他还需要承担民事赔偿责任，赔偿儿子因敲诈勒索行为所遭受的损失。
总结：针对您描述的情况，是否构成敲诈勒索需要结合具体行为细节和法律规定来判断。如果儿子认为自己的权益受到侵害，应及时保留证据、报警并咨询专业律师的意见。如果您有进一步的法律问题或需要更详细的法律建议，请直接向我咨询。