行政部门不依法履职，可以通过以下途径追究其责任：

1. 行政复议：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，公民、法人或者其他组织认为行政机关的具体行政行为侵犯其合法权益的，可以依法向行政复议机关提出行政复议申请。
   • 操作方式：若行政部门未依法履行其职责，如未按时处理申请、未依法作出行政决定等，你可以向该行政部门的上一级主管部门或者同级人民政府提出行政复议申请，要求复议机关审查并纠正行政部门的违法行为。
   • 后果：如果复议机关认为原行政行为违法，会作出撤销、变更或者确认违法的复议决定，并可以责令行政部门在一定期限内重新作出行政行为。

2. 行政诉讼：

   • 法律依据：依据《中华人民共和国行政诉讼法》，公民、法人或者其他组织认为行政机关和行政机关工作人员的行政行为侵犯其合法权益，有权依照本法向人民法院提起诉讼。
   • 操作方式：若行政部门不依法履职，且你对其行为不服，可以直接向人民法院提起行政诉讼，要求法院审查行政行为的合法性，并作出判决。
   • 后果：如果法院认为行政部门的行为违法，会判决撤销、变更或者确认违法，并可以责令行政部门采取补救措施或者赔偿损失。

3. 投诉举报：

   • 操作方式：除了通过法律途径追究责任外，你还可以向相关部门的监察机关、上级机关或者专门的投诉举报机构进行投诉举报，反映行政部门不依法履职的情况。
   • 后果：相关部门在收到投诉举报后，会进行调查核实，并根据情况对行政部门进行问责或者督促其改正。

4. 寻求媒体或社会监督：

   • 操作方式：在合法合规的前提下，你也可以通过媒体曝光或者利用社会监督的力量，对行政部门不依法履职的行为进行舆论监督，促使其改正错误。
   • 注意事项：在使用媒体或社会监督时，应确保信息的真实性和准确性，避免造成不必要的误解或负面影响。

在追究行政部门责任时，需要注意以下几点：

• 保留证据：在追究行政部门责任的过程中，保留好相关证据至关重要。这包括行政部门的书面回复、处理记录、相关法律法规等，以便在需要时提供证明。
• 了解程序：在提起行政复议或行政诉讼前，应了解相关的程序和要求，确保自己的申请或诉讼符合法律规定。
• 寻求专业帮助：如果你对法律程序不熟悉或者遇到复杂的法律问题，可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到有效维护。

行政部门不依法履职是违法行为，你有权通过多种途径追究其责任。如果你在此过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。