针对行政机关不作为的追责问题，以及该由哪个部门管理，可以明确以下几点：
追责方式：
- 行政复议：如果认为行政机关的不作为侵犯了自己的合法权益，可以向该行政机关的上一级行政机关或者法律、法规规定的行政机关申请行政复议。行政复议机关会对行政机关的不作为进行审查，并作出相应的复议决定。
- 行政诉讼：如果行政复议未能解决问题，或者认为行政复议决定不公正，可以向人民法院提起行政诉讼。在诉讼过程中，法院会审查行政机关的行为是否合法，如果确认行政机关存在不作为，会判决其履行相应的职责或者承担相应的法律责任。
- 投诉举报：除了行政复议和行政诉讼外，还可以向相关的监督部门（如监察委员会、政府督查室等）进行投诉举报，要求其对行政机关的不作为进行调查处理。
管理部门：
- 上级行政机关：对于行政机关的不作为，其上一级行政机关通常具有监督和管理的职责。上级行政机关可以通过行政复议、行政督查等方式对下级行政机关的不作为进行纠正和处理。
- 监察委员会：监察委员会是负责监督所有行使公权力的公职人员的机关。如果行政机关的不作为涉及到公职人员的失职、渎职等行为，监察委员会可以依法进行调查和处理。
- 政府督查室：政府督查室是政府内部设立的专门负责督查工作的机构。它可以对行政机关的工作进行督查，包括对其不作为行为的督查和处理。
在追责过程中，需要注意以下几点：
- 保留证据：在认为行政机关不作为时，要尽可能保留相关的证据，如申请材料、回复文件、沟通记录等，以便在后续的追责过程中证明自己的主张。
- 了解程序：在追责前，要了解相关的程序和要求，如行政复议的申请期限、行政诉讼的起诉条件等，以确保自己的追责行为符合法律程序。
- 寻求专业帮助：如果觉得自己在处理这类问题时存在困难，可以寻求专业律师的帮助，他们可以提供更具体、更专业的法律建议和指导。
举例说明：
假设某市民向当地环保局申请查处某企业违法排污行为，但环保局在法定期限内未作出任何回应。此时，该市民可以向上一级环保部门申请行政复议，要求确认下级环保局的不作为行为违法，并责令其履行查处职责。如果行政复议未能解决问题，该市民还可以向人民法院提起行政诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。
最后，如果遇到行政机关不作为的情况，不要慌张，要依法维护自己的权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。