针对您提出的问题，即您老公在外派出差期间在宿舍休息时突发脑出血，公司应该如何处理，这主要涉及到工伤认定的问题。以下是我根据相关法律法规和实际情况，为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，根据《工伤保险条例》的相关规定，职工在工作时间和工作岗位上突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡的，视同工伤。然而，在您老公的情况下，他是在宿舍休息时突发脑出血，这并不直接符合上述工伤认定的标准，因为宿舍休息时间通常不被视为工作时间，宿舍也不被视为工作岗位。
但是，这并不意味着公司完全无需承担责任。根据《劳务派遣暂行规定》第十条，如果被派遣劳动者在用工单位因工作遭受事故伤害，劳务派遣单位应当依法申请工伤认定，用工单位应当协助工伤认定的调查核实工作。虽然您老公的情况并非直接因工作遭受事故伤害，但公司（无论是劳务派遣单位还是用工单位）在员工突发疾病时，仍应承担一定的责任和义务。
具体来说，公司可以采取以下措施：
及时送医救治：公司应立即将您老公送往医院进行救治，并确保他得到及时、有效的医疗护理。
协助申请工伤认定（如适用）：尽管您老公的情况可能不符合直接的工伤认定标准，但如果存在争议或特殊情况，公司仍应协助您或您老公申请工伤认定，并提供必要的证明材料和协助调查。
提供必要的支持：公司应提供必要的支持，包括但不限于协助联系家属、提供医疗费用垫付（如公司有相关政策）、协助处理后续事宜等。
关注员工健康：公司应加强对员工健康的关注和管理，特别是对于外派出差的员工，应提供必要的健康指导和保障措施，以减少类似事件的发生。
协商补偿事宜：如果公司认为自身应承担一定的责任，可以与您或您老公协商补偿事宜，包括医疗费用、误工费、护理费等。
最后，我想强调的是，每个具体情况都有其独特性，因此公司在处理此类事件时，应根据实际情况和相关法律法规进行综合判断和处理。如果您对公司的处理方式有疑问或不满，建议咨询专业律师或相关劳动部门以获取更具体的法律建议和帮助。