结论：事业编员工35年工龄不胜任工作本身并不违法，但单位需依法进行岗位调整或培训，若仍不胜任方可解除劳动合同，且需支付经济补偿。以下从不同角度详细分析：

一、工龄与不胜任工作的法律关系

工龄本身并不直接决定员工是否胜任工作。根据《劳动合同法》及相关规定，员工是否胜任工作，主要取决于其工作能力、工作态度、工作成果等是否符合岗位要求。因此，35年工龄的员工不胜任工作，并不因其工龄长而改变其不胜任的事实。

二、单位对不胜任工作员工的处理方式

1. 岗位调整或培训：

   • 根据《劳动合同法》第四十条，员工不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的，用人单位可以提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，解除劳动合同。
   • 单位需先对员工进行岗位调整或培训，这是法定程序，不能直接解除劳动合同。

2. 解除劳动合同与经济补偿：

   • 若经过岗位调整或培训后，员工仍不胜任工作，单位可以解除劳动合同。
   • 解除劳动合同时，单位需支付经济补偿。经济补偿的计算标准根据员工在单位的工作年限和月工资确定，具体为：每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
   • 对于35年工龄的员工，若其月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付经济补偿的年限最高不超过十二年。

三、特殊情况下的处理

• 事业编员工的特殊性：事业编员工的管理可能还受到《事业单位人事管理条例》等规定的约束。这些规定可能对员工的岗位调整、培训、解除劳动合同等有更具体的程序要求。
• 单位需遵循内部规章制度：单位在处理不胜任工作的员工时，还需遵循其内部制定的规章制度。这些规章制度应合法、合理，且已向员工公示或告知。

四、法律建议

1. 对员工而言：

   • 若收到单位的岗位调整或培训通知，应积极配合，努力提升自己的工作能力。
   • 若对单位的处理有异议，可以与单位协商，或向劳动争议调解委员会申请调解，或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。

2. 对单位而言：

   • 在处理不胜任工作的员工时，应确保程序合法、合理，避免侵犯员工的合法权益。
   • 保留好相关证据，如员工不胜任工作的证明、岗位调整或培训的通知、经济补偿的计算依据等，以备不时之需。

总结：事业编员工35年工龄不胜任工作本身并不违法，但单位需依法进行岗位调整或培训，若仍不胜任方可解除劳动合同，且需支付经济补偿。在处理此类问题时，单位和员工都应遵循相关法律法规和内部规章制度，确保程序的合法性和合理性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。