家政公司员工在客户家受伤，责任归属需根据具体情况分析，主要涉及家政公司、客户以及员工自身三方。以下从不同角度进行详细分析：
家政公司的责任：
- 劳动关系下的雇主责任：如果家政公司员工与家政公司之间存在劳动关系，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条：“用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。用人单位承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的工作人员追偿。” 类似地，员工在执行工作任务（即在客户家提供家政服务）过程中受伤，家政公司作为用人单位，应当承担相应的赔偿责任。这包括医疗费、误工费、护理费等合理费用。
- 安全保障义务：家政公司有义务为员工提供必要的安全培训，并确保员工了解并遵守安全操作规程。如果家政公司未尽到安全保障义务，导致员工受伤，家政公司也可能需要承担一定的责任。
客户的责任：
- 过错责任：如果客户在员工提供服务过程中存在过错行为，如提供危险的工作环境、未提供必要的安全设施或指示等，导致员工受伤，客户应当根据其过错程度承担相应的赔偿责任。
- 无过错责任（特殊情况）：在某些特殊情况下，即使客户没有过错，也可能需要承担一定的责任。例如，如果客户家中的宠物突然攻击员工导致受伤，且客户无法证明自己已尽到管理义务，客户可能需要承担一定的赔偿责任。但这种情况较为特殊，需具体分析。
员工自身的责任：
- 过错自负：如果员工在受伤过程中存在过错行为，如未按照安全操作规程进行操作、故意违反工作纪律等，导致自己受伤，员工可能需要自行承担一部分或全部责任。这取决于员工过错的程度以及家政公司、客户是否存在过错。
- 工伤保险：如果家政公司为员工缴纳了工伤保险，员工在受伤后可以享受工伤保险待遇。这包括医疗费用报销、伤残津贴等。在这种情况下，员工的一部分或全部损失可能由工伤保险基金承担。
综合建议：
- 及时报案与就医：员工受伤后，应立即报案并就医，确保伤情得到及时治疗，并保留好相关医疗记录作为证据。
- 收集证据：员工、家政公司和客户都应积极收集与事故相关的证据，如现场照片、视频、证人证言等，以便在后续的责任认定和赔偿协商中提供有力支持。
- 协商与调解：在责任明确后，各方可以尝试通过协商或调解的方式解决赔偿问题。这可以节省时间和成本，并避免不必要的法律纠纷。
- 法律途径：如果协商或调解无果，各方可以通过法律途径解决争议。员工可以向劳动仲裁机构申请仲裁或向人民法院提起诉讼，要求家政公司或客户承担相应的赔偿责任。
特别提醒：由于每个案件的具体情况不同，责任归属和赔偿金额也会有所差异。因此，在处理此类纠纷时，建议咨询专业律师以获取更具体、更准确的法律建议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。