结论前置：没有签劳动合同但公司开具解除合同证明，若公司不开具或延迟开具，劳动者可能会面临再就业受阻、社保及公积金转移困难、无法领取失业保险金以及劳动报酬和经济补偿支付问题等多方面的损失。同时，公司也可能因此承担法律责任。以下是对这些问题的详细分析：
一、对劳动者的影响
再就业受阻：
- 解除劳动合同证明是劳动者再就业的重要凭证。若公司不开具或延迟开具，新单位可能因无法确认劳动者的劳动关系状态而不敢录用，导致劳动者错失就业机会。
- 例子：假设劳动者小李与原公司未签劳动合同，但已实际工作数月。现小李找到新工作，新公司要求提供解除劳动合同证明。若原公司拒绝开具，小李可能因此失去这份新工作。
社保及公积金转移困难：
- 社保和公积金的转移通常需要解除劳动合同证明作为依据。若公司不开具，可能导致社保关系无法正常转移，影响劳动者的社保待遇（如医疗保险报销、养老保险累计缴费年限计算等）。
- 公积金的提取或转移也需要提供该证明，否则劳动者在符合提取条件时无法顺利提取公积金，或在进入新单位后公积金账户无法正常转移合并。
无法领取失业保险金：
- 根据《社会保险法》，失业人员需持本单位出具的终止或解除劳动关系的证明，才能及时到指定的公共就业服务机构办理失业登记并领取失业保险金。若公司未开具证明，劳动者将无法享受这一待遇。
劳动报酬和经济补偿支付问题：
- 公司应依法在解除劳动合同时一次性结清劳动者的工资。若未开具解除劳动合同证明，公司可能会以此为由拖延或拒绝支付剩余工资。
- 在符合法定情形下（如公司提出解除劳动合同并与劳动者协商一致解除、依照法定程序进行裁员等），公司需向劳动者支付经济补偿。若未开具证明，劳动者可能难以顺利领取应得的经济补偿。
二、对公司的法律责任
赔偿劳动者损失：
- 根据《劳动合同法》第八十九条，公司未向劳动者出具解除或者终止劳动合同的书面证明，给劳动者造成损害的，应当承担赔偿责任。这包括但不限于劳动者因无法再就业而减少的收入、社保中断导致的自行补缴费用、公积金无法正常使用的损失等。
劳动行政部门处罚：
- 劳动行政部门有权要求公司限期出具解除劳动合同书面证明。若公司逾期仍未改正，劳动行政部门可依法对其进行处罚，包括责令改正和罚款。罚款的具体数额根据违法情节的严重程度确定。
三、建议与措施
- 劳动者：若公司拒绝开具解除劳动合同证明，劳动者可先与公司协商，要求其依法出具。若协商无果，劳动者可向当地劳动行政部门投诉，或申请劳动仲裁以维护自身权益。
- 公司：为避免法律风险和经济损失，公司应依法及时为劳动者出具解除劳动合同书面证明。同时，公司也应加强内部管理，确保劳动合同的签订和解除程序合法合规。
总结：没有签劳动合同但公司开具解除合同证明的情况下，若公司不开具或延迟开具，劳动者可能会面临多方面的损失。同时，公司也可能因此承担法律责任。因此，双方都应依法行事，确保劳动关系的合法解除和权益的保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。