结论前置：

1. 劳动仲裁阶段未申请笔记鉴定，一审阶段是可以申请的。
2. 另一方在一审阶段有权对笔记鉴定申请提出异议，但最终是否进行鉴定由法院决定。

详细解释与分析：

关于一审阶段能否申请笔记鉴定： 在劳动仲裁阶段，如果双方对某份笔记（如合同、协议、记录等）的真实性或内容存在争议，且该笔记对案件结果有重要影响，通常可以在仲裁阶段申请笔记鉴定。然而，如果仲裁阶段未提出鉴定申请，或者仲裁机构未采纳鉴定申请，这并不意味着在一审阶段就不能再提出。根据我国民事诉讼法的相关规定，当事人在一审阶段仍然有权就相关证据提出鉴定申请，包括笔记鉴定。因此，如果劳动仲裁阶段未申请笔记鉴定，一审阶段是可以申请的。

关于另一方能否不同意笔记鉴定： 在一审阶段，当一方提出笔记鉴定申请时，另一方作为对方当事人，有权对该申请提出异议。这种异议可能基于多种理由，如认为笔记真实无误、鉴定费用过高、鉴定时间过长等。然而，另一方的不同意并不直接决定笔记鉴定是否进行。最终是否进行笔记鉴定，由法院根据案件的具体情况、证据的重要性以及双方当事人的意见进行综合判断。如果法院认为笔记鉴定对于查明案件事实、公正裁决具有必要性，那么即使另一方不同意，法院也可能决定进行鉴定。

法律建议与注意事项：

• 及时提出申请：如果在一审阶段需要申请笔记鉴定，应尽早向法院提出，以便法院能够合理安排鉴定时间，确保案件能够及时审理。
• 准备充分证据：在提出笔记鉴定申请时，应同时提供相关证据，以支持自己的主张。这些证据可以包括笔记的原件、复印件、照片、视频等，以及能够证明笔记真实性的其他证据。
• 尊重法院裁决：无论法院最终是否决定进行笔记鉴定，都应尊重法院的裁决，并积极配合法院的审理工作。如果对法院的裁决有异议，可以在法定期限内提出上诉或申请再审。

可能产生的法律后果：

• 如果笔记鉴定结果对一方有利：那么该方在案件中的胜诉可能性将增加，因为鉴定结果可以作为法院裁决的重要依据。
• 如果笔记鉴定结果对一方不利：那么该方可能需要承担相应的法律责任，如赔偿损失、履行合同等。同时，该方也可能面临败诉的风险。

总结与进一步思考：

笔记鉴定在劳动纠纷案件中具有重要意义，它可以帮助法院查明案件事实，公正裁决。因此，在劳动仲裁或一审阶段，如果双方对笔记的真实性或内容存在争议，应及时提出鉴定申请。同时，作为当事人，也应了解并尊重法院的裁决程序，积极配合法院的审理工作。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。