农村支部书记在公共场合持刀追赶他人，是否会被开除职务需分情况讨论，具体取决于其行为性质、造成的后果以及党纪国法的相关规定。以下从不同角度展开分析：

1. 从党纪处分角度

根据《中国共产党纪律处分条例》，党员有下列行为之一的，视情节轻重可给予警告直至开除党籍处分：

• 违反社会公德、家庭美德：若支部书记的行为被认定为“寻衅滋事、扰乱公共秩序”或“侵犯他人人身权利”，可能违反党纪中的“生活纪律”条款。
• 造成恶劣影响：公共场合持刀追赶他人极易引发恐慌，损害党组织形象，若被认定为“严重违反社会公德”或“损害党和国家利益”，可能面临撤销党内职务、留党察看或开除党籍的处分。
• 是否涉及违法犯罪：若行为构成《刑法》中的“寻衅滋事罪”“故意伤害罪（未遂）”等，需先由司法机关追究刑事责任，再根据“党纪严于国法”原则，从重或加重处分。

2. 从职务罢免角度

农村支部书记的职务罢免需通过党内程序或村民自治程序：

• 党内程序：由上级党委或支部党员大会根据党纪处分结果决定是否罢免其职务。若被开除党籍，通常自动丧失支部书记资格。
• 村民自治程序：根据《村民委员会组织法》，村民委员会成员（含支部书记兼任的）若被判处刑罚或存在“违背社会公德、家庭美德”等行为，村民会议或村民代表会议可提出罢免建议，经法定程序罢免。

3. 从法律责任角度

• 行政责任：若行为未构成犯罪，但违反《治安管理处罚法》，可能面临行政拘留、罚款等处罚，党组织可据此作为处分依据。
• 刑事责任：若持刀行为导致他人受伤（轻伤以上），可能构成故意伤害罪；若未造成伤害但情节恶劣（如追逐、拦截他人），可能构成寻衅滋事罪，需承担刑事责任。

4. 关键因素

• 行为动机与后果：是因纠纷一时冲动，还是蓄意报复？是否造成人员受伤或财产损失？
• 社会影响：是否引发群众恐慌、媒体报道或网络热议？
• 主观态度：是否认罪悔罪、积极赔偿损失？

建议

1. 立即报警：由公安机关调查行为性质，固定证据（如监控、证人证言）。
2. 向上级党委反映：要求启动党纪调查程序，根据结果决定是否罢免职务。
3. 收集证据：保留现场照片、视频、医疗记录等，为后续维权或举报提供依据。

总结：农村支部书记在公共场合持刀追赶他人，若行为违法或严重违反党纪，极有可能被开除职务。具体需结合行为性质、后果及程序要求综合判断，建议尽快通过法律途径维护权益。如有进一步细节，可随时向我咨询。