结论：农村支部书记拿着刀子去追赶三个人，被行政拘留后，其是否可以继续担任职务，需根据具体情况判断，一般情况下，若其行为构成严重违纪违法或被追究刑事责任，则不能继续担任；若仅为一般违法行为且未造成严重后果，可能仍有机会继续任职，但会受到纪律处分或影响职务晋升。以下从不同角度进行分析：
一、行政拘留的性质与影响
行政拘留是公安机关依法对违反行政管理秩序的公民采取的限制其人身自由的处罚措施。它不同于刑事拘留，后者是刑事诉讼中的一种强制措施，针对的是涉嫌犯罪的行为人。行政拘留本身并不直接导致职务的丧失，但其背后的违法行为可能成为职务变动的考量因素。
二、职务变动的法律依据
党纪处分：
- 根据《中国共产党纪律处分条例》等相关规定，党员若存在违法行为，视情节轻重，可能受到警告、严重警告、撤销党内职务、留党察看直至开除党籍的处分。
- 农村支部书记作为党员，若其拿着刀子追赶他人的行为被认定为严重违纪，很可能受到撤销党内职务或更重的处分，从而丧失支部书记职务。
政务处分：
- 对于公职人员（包括农村支部书记，若其同时担任村干部等公职），若存在违法行为，根据《中华人民共和国公职人员政务处分法》等相关规定，可能受到警告、记过、记大过、降级、撤职、开除等政务处分。
- 若该行为被认定为严重违法或构成犯罪（即使未被刑事处罚，但情节严重），很可能受到撤职或开除的处分，导致职务丧失。
职务任免规定：
- 农村支部书记的任免通常遵循党内选举和任免程序。若其行为严重损害党的形象和群众利益，可能引发党内选举的变动或上级党组织的干预，导致职务变动。
三、具体情形分析
若行为构成犯罪：
- 即使农村支部书记因某种原因未被刑事处罚（如情节轻微、自首、立功等），但其行为若构成犯罪（如寻衅滋事罪、故意伤害罪等），则几乎必然导致职务的丧失。因为犯罪行为严重违反了党纪国法，损害了党的形象和群众利益。
若行为仅为一般违法：
- 若农村支部书记的行为被认定为一般违法（如违反治安管理处罚法），且未造成严重后果或恶劣影响，其可能仅受到行政拘留等行政处罚，而职务变动则取决于党内和上级组织的决定。
- 在这种情况下，虽然行政拘留本身不直接导致职务丧失，但该行为可能成为党内纪律处分或职务调整的考量因素。例如，上级党组织可能认为其不再适合担任支部书记职务，从而进行职务调整。
四、建议与后续行动
对于农村支部书记本人：
- 应深刻反思自己的行为，认识到违法行为的严重性和后果。
- 积极配合公安机关的调查和处理，争取从轻或减轻处罚。
- 主动向上级党组织说明情况，接受组织的审查和处理。
对于村民和上级组织：
- 村民应关注该事件的进展和处理结果，维护自身合法权益和村庄的和谐稳定。
- 上级组织应依法依规对该事件进行调查和处理，确保公正公平。同时，加强对农村支部书记的教育和管理，防止类似事件再次发生。
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