结论：公司将请病假的前提定为要求三甲医院出具的证明，这一要求是否合法需分情况讨论，并非绝对合法或非法。
合法情况：
- 规章制度合法且公示：如果公司在其规章制度中明确规定了请病假需要提供三甲医院的证明，并且该规章制度经过了民主程序制定（如职工代表大会或全体职工讨论，并与工会或职工代表平等协商确定），同时已经向员工进行了公示或告知，那么这一要求在法律上是具有合法性的。
- 特定行业或岗位的特殊要求：对于某些特殊行业或岗位，如航空公司飞行员等，由于工作性质对身体健康有极高要求，公司要求员工提供三甲医院的病假证明，以保障工作安全和健康，这种要求也是合理且合法的。
不合法情况：
- 缺乏制度依据或未公示告知：如果公司没有制定相关规章制度，或者虽然制定了但未经过民主程序及公示告知，那么要求员工提供三甲医院的病假证明就缺乏合法依据，可能构成对员工权益的侵犯。
- 限制员工合理就医权利：公司不能强制员工只能到特定的三甲医院就医。在急诊或特殊情况下，员工有权选择就近的医疗机构进行治疗，并提供相应的病假证明。如果公司仅因非三甲医院出具的证明而不认可病假，就可能限制了员工的就医选择权，甚至可能导致病情延误，这种要求是不合法的。
法律背景与建议：
- 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》等相关法律法规，劳动者享有休病假的权利，且该权利并不受医院级别的限制。只要劳动者确实患病需要治疗休息，就应当享有相应的病假权益。
- 公司在制定病假管理制度时，应兼顾管理需要和员工的权益，避免过于严格的规定影响员工的健康状况和休息权。如果公司确实需要员工提供三甲医院的病假证明，应在规章制度中明确说明理由，并确保该限制不违反相关法律法规和劳动者的合法权益。
- 员工在面对公司的不合理要求时，应了解自身的病假权益和相关法律法规，积极与公司沟通协商，维护自己的合法权益。如果协商无果，可以向劳动监察部门投诉或寻求法律援助。
可能后果：
- 如果公司要求员工提供三甲医院病假证明的规定不合法，员工有权拒绝执行，并可以向劳动监察部门投诉公司的违法行为。
- 如果公司因此拒绝批准员工的病假申请，员工可以依法申请劳动仲裁或提起诉讼，要求公司支付病假工资、赔偿损失等。
综上所述，公司在要求员工提供三甲医院开具的病假证明时，必须确保其规章制度合法、合规，并且已经过民主程序和公示告知。同时，在实际操作中，公司也应遵循法律公平原则和员工的合理需求，确保病假管理制度既符合法律法规，又体现人文关怀。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。