结论：员工离职20天后生病死亡，公司是否需要负责不能一概而论，需分情况讨论。

1. 劳动关系存续期间的责任

   • 如果员工在离职前已经生病，且该疾病与工作有关（例如职业病或工伤），根据《工伤保险条例》的规定，公司可能需要承担相应的工伤保险责任。这包括医疗费用、伤残补助金等。但这种情况的前提是疾病被认定为工伤或职业病，且在劳动关系存续期间已经确诊或应当确诊。
   • 如果员工在离职前生病，但疾病与工作无关，公司一般不需要承担医疗或死亡相关的责任，除非公司存在未履行法定义务的情况（例如未依法缴纳社会保险导致员工无法享受医保待遇）。

2. 离职后的责任

   • 员工离职后，劳动关系已经终止，公司原则上不再对员工的健康或死亡承担责任。但如果公司存在过错行为（例如离职前未安排职业健康检查、未告知职业病危害等），且该过错与员工的疾病或死亡存在因果关系，公司可能需要承担相应的侵权责任。
   • 如果员工在离职后生病或死亡，且疾病与工作无关，公司通常无需承担责任。但如果公司未依法为员工缴纳社会保险，导致员工无法享受医保或工伤保险待遇，公司可能需要承担补充赔偿责任。

3. 未签订劳动合同的影响

   • 未签订劳动合同本身不会直接导致公司对员工离职后的生病或死亡承担责任。但如果未签订劳动合同的时间超过一个月，公司可能需要支付双倍工资差额（根据《劳动合同法》第八十二条）。不过，这一责任与员工的生病或死亡无直接关联。
   • 如果未签订劳动合同导致员工无法享受社会保险待遇（例如医保、工伤保险），公司可能需要承担相应的赔偿责任。

建议：

• 如果员工家属认为公司存在过错或未履行法定义务，建议收集相关证据（例如医疗记录、工作证明、未缴纳社保的证明等），并向劳动争议仲裁委员会或法院提起仲裁或诉讼。
• 公司应审查自身是否存在未履行法定义务的情况（例如未缴纳社保、未安排职业健康检查等），并积极与员工家属沟通，避免纠纷升级。

如果有进一步的问题或需要更详细的法律分析，可以直接向我咨询。