结论：关于公司第二份合同到期后，与第三方新公司签订无固定期限劳动合同，工龄是否累计的问题，这主要取决于新公司是否愿意承认并累计之前的工龄，以及原公司和新公司之间是否存在关联关系或特定协议。在一般情况下，如果新公司独立于原公司，且没有相关协议或法律规定要求累计工龄，那么工龄可能不会自动累计。但是，如果存在特定情况，如原公司和新公司为关联企业，或者存在相关法律规定，那么工龄可能会被累计。
详细分析：
一般情况下的工龄累计：
- 在劳动合同法中，工龄通常指的是劳动者在同一用人单位连续工作的时间。当劳动者与新的用人单位签订劳动合同时，除非有特别约定或法律规定，否则新的用人单位通常不会自动承认劳动者在之前用人单位的工龄。
- 因此，在您描述的情况下，如果新公司与原公司是完全独立的两个法人实体，且没有签订任何关于工龄累计的协议，那么新公司可能不会承认您在原公司的工龄。
关联企业间的工龄累计：
- 如果原公司和新公司之间存在关联关系，如母子公司、兄弟公司等，且这些公司之间有关于工龄累计的内部规定或协议，那么您的工龄可能会被累计。
- 此外，一些地区或行业可能有特定的规定，要求关联企业间在特定情况下必须累计工龄。这种情况下，您需要查阅当地的相关法律法规或政策文件。
法律规定下的工龄累计：
- 在某些特定情况下，如企业合并、分立、转让等，根据相关法律法规的规定，劳动者的工龄可能会被连续计算。
- 例如，《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第十条规定：“劳动者非因本人原因从原用人单位被安排到新用人单位工作的，劳动者在原用人单位的工作年限合并计算为新用人单位的工作年限。原用人单位已经向劳动者支付经济补偿的，新用人单位在依法解除、终止劳动合同计算支付经济补偿的工作年限时，不再计算劳动者在原用人单位的工作年限。” 如果您的情况符合这一规定，那么您的工龄可能会被累计。
建议：
- 与新公司沟通：首先，您可以与新公司的人力资源部门或相关负责人进行沟通，了解他们对于工龄累计的政策和态度。
- 查阅相关法律法规：其次，您可以查阅当地的相关法律法规或政策文件，了解是否存在关于工龄累计的特定规定。
- 咨询专业律师：如果您对相关法律法规或政策文件的理解存在疑问，或者您的情况比较复杂，建议您咨询专业律师以获取更准确的法律意见。
可能后果：
- 如果新公司不承认您在原公司的工龄，那么您在计算经济补偿、年假等福利待遇时，可能只能以在新公司的工作年限为准。
- 如果新公司承认您在原公司的工龄，或者根据相关法律法规或政策文件的规定，您的工龄被累计计算，那么您将能够享受到更全面的福利待遇。
总之，工龄是否累计取决于多种因素，包括新公司的政策、原公司和新公司之间的关系以及相关法律法规的规定。如果您对此有疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。