结论：您可以向单位提出开除打人同事的要求，但单位是否会开除该同事，取决于单位的规章制度、劳动合同以及相关法律法规的规定，并非您单方面要求就能实现。
分析说明：
从单位规章制度和劳动合同角度：
- 许多单位都有明确的规章制度，对于员工之间的暴力行为、严重违反工作纪律或职业道德的行为，会规定相应的处罚措施，包括开除。
- 如果打人同事的行为严重违反了单位的规章制度或劳动合同中的相关条款，单位有权依据这些规定或合同对其进行处理，包括开除。
从法律法规角度：
- 根据《中华人民共和国劳动法》和《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，员工严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。
- 同时，如果打人行为构成了犯罪（如故意伤害罪），那么打人同事不仅可能面临刑事处罚，单位也可以依据相关法律法规解除与其的劳动合同。
- 但需要注意的是，即使打人行为未构成犯罪，如果单位规章制度或劳动合同中没有明确规定此类行为可以开除，单位在决定是否开除时也需要谨慎考虑，避免违法解除劳动合同。
您的权利与行动建议：
- 要求单位处理：您可以向单位的人力资源部门或上级领导反映情况，要求单位对打人同事进行处理。在反映情况时，建议您提供详细的证据，如目击者证言、监控录像等，以支持您的主张。
- 寻求法律援助：如果单位未能妥善处理此事，或者您认为单位的处理结果不公正，您可以考虑寻求法律援助。您可以咨询专业律师（比如我），了解您的权利和可行的法律途径。
- 报警处理：如果打人行为造成了您身体上的伤害，您还可以选择报警处理。警方会依法对打人同事进行调查和处理，这也可以为您后续要求单位处理或寻求法律援助提供有力支持。
后续行动建议：
- 在与单位沟通或寻求法律援助时，保持冷静和理性，避免情绪化的表达或行为。
- 准备好相关证据，如医疗记录、目击者证言、监控录像等，以支持您的主张。
- 如果您决定寻求法律援助，请选择有经验的律师（比如我），并详细告知律师您的情况和需求，以便律师能够为您提供更准确的法律建议和帮助。
特殊场景：
- 如果打人同事的行为构成了犯罪，并且您希望追究其刑事责任，那么您需要向警方报案，并配合警方的调查工作。在这种情况下，单位是否开除该同事将不再是您关注的重点，而是警方和法院将依法对其进行处理。
法律法规引用：
- 《中华人民共和国劳动法》第二十五条：劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：……（二）严重违反劳动纪律或者用人单位规章制度的；……
- 《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条：劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：……（二）严重违反用人单位的规章制度的；……（六）被依法追究刑事责任的。
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