您可以要求单位开除打您的员工，但具体能否实现需依据单位规章制度及相关法律程序来确定。以下是从法律角度给出的详细分析和建议：
明确单位规章制度：
- 首先，您需要了解并确认单位是否有明确的规章制度规定打架属于严重违纪行为，以及此类行为可能导致的后果，包括开除。这是提出要求的法律依据。
全面收集证据：
- 医疗记录：若您受伤，应立即就医并保留所有医疗文件，如诊断证明、病历、检查报告及缴费凭证等，以证明伤害事实。
- 伤情鉴定报告：向公安机关报案并申请伤情鉴定，获取具有权威性的伤情等级报告。
- 现场证据：包括照片、视频等，尽可能还原事件现场，可通过目击者手机拍摄或监控摄像头获取。
- 证人证言：收集目击者的联系方式和证言，注意证人的可信度和与双方的关系。
正式向单位提出要求：
- 确定受理部门：通常为人力资源部门或相关管理部门，获取其联系信息和办公地址。
- 提交书面报告：详细陈述事件经过，附上所有收集到的证据，并明确提出开除该员工的诉求。
积极配合单位调查：
- 在单位调查过程中，主动提供所需证据和信息，如实回答询问。
- 保持与调查人员的沟通，及时了解调查进度，对不公正、不合理情况适时反映。
利用其他支持途径：
- 工会：向工会寻求支持和帮助，利用其监督和协调作用。
- 监管部门：如单位处理不当或未及时处理，可向上级主管部门或相关监管部门投诉举报。
考虑法律途径：
- 若对单位处理结果不满意，或单位未能在合理时间内作出处理，您可考虑通过法律途径解决争议，如向劳动仲裁机构提起仲裁申请，要求单位支付赔偿金或采取其他补救措施。
法律建议与后果分析：
- 在提出开除要求前，务必确保您的诉求有充分的法律依据和证据支持。
- 单位的规章制度是处理此类事件的重要依据，需仔细查阅并理解。
- 若单位内部处理无法满足您的诉求，法律途径是维护您权益的有效方式。但需注意，法律程序可能较为复杂和耗时，需做好心理准备。
总结：
要求单位开除打您的员工，需基于明确的单位规章制度，通过全面收集证据、正式向单位提出要求、积极配合调查，并利用工会和监管部门的支持。若单位内部处理无法满足诉求，还可考虑通过法律途径维护自身权益。在整个过程中，务必保持冷静和理性，确保自己的权益得到有效维护。如有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。