结论：第二次劳动合同到期遇到医疗期延长时，是否需要续订劳动合同需分情况讨论，主要取决于医疗期的具体时长、劳动合同的约定以及相关法律法规的规定。
分析：
医疗期内的劳动合同处理：
- 根据《劳动合同法》及相关规定，员工在医疗期内，用人单位不得解除劳动合同。这意味着，如果劳动合同在医疗期内到期，劳动合同应当顺延至医疗期满。
- 举例：假设员工的第二次劳动合同原定于2023年12月31日到期，但员工在2023年11月因病开始休医疗期，且医疗期预计持续至2024年2月。那么，该劳动合同应顺延至2024年2月医疗期满。
医疗期满后的劳动合同处理：
- 医疗期满后，如果员工能够继续从事原工作，或者用人单位能够安排其他合适的工作，且双方同意续订劳动合同的，可以续订劳动合同。
- 如果医疗期满后，员工不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的，用人单位可以依据《劳动合同法》的相关规定，提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，解除劳动合同。但在此情况下，用人单位需要支付经济补偿金。
- 举例：接上例，如果员工在2024年2月医疗期满后，因身体原因无法继续从事原工作，且用人单位也无法安排其他合适的工作，那么用人单位可以在支付经济补偿金后，与员工解除劳动合同。
劳动合同续订的协商与约定：
- 劳动合同的续订应当遵循平等自愿、协商一致的原则。因此，在医疗期满后，是否续订劳动合同应由用人单位和员工双方协商确定。
- 如果双方同意续订劳动合同，应当明确续订的期限、工作内容、工作地点、劳动报酬等条款，并签订书面的劳动合同。
建议：
- 对于用人单位而言，在员工医疗期满后，应及时与员工沟通，了解员工的身体状况和工作意愿，协商确定是否续订劳动合同。如果决定不续订，应依法支付经济补偿金，并办理相关离职手续。
- 对于员工而言，在医疗期满后，应如实向用人单位说明自己的身体状况和工作能力，以便用人单位做出合理的安排。如果希望续订劳动合同，应与用人单位积极协商，明确续订的条款和条件。
法律后果：
- 如果用人单位在医疗期内违法解除劳动合同，或者医疗期满后未依法支付经济补偿金就解除劳动合同的，员工有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位承担违法解除劳动合同的法律责任。
- 如果员工在医疗期满后拒绝与用人单位续订劳动合同，且无正当理由的，可能视为员工主动解除劳动合同，用人单位无需支付经济补偿金。但具体情形还需根据劳动合同的约定和相关法律法规的规定来判断。
如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。