老师和学校之间是否构成雇佣关系，需根据老师的身份性质、合同类型及具体法律法规综合判断。以下从不同情况为您详细分析：
私立学校教师：
- 构成劳动关系：私立学校作为民办非企业单位，与教师签订劳动合同的，双方存在劳动关系。私立学校教师通常通过招聘程序入职，签订劳动合同，享受劳动法规定的各项权益，如工资、福利、社会保险等。
公立学校聘用制教师：
- 构成劳动关系：公立学校中采用聘用制的教师，若签订了劳动合同，也视为存在劳动关系。这些教师虽在公立学校工作，但非事业编制，以合同形式明确双方权利义务，同样受劳动法保护。
公立学校事业编制教师：
- 不构成劳动关系，而是人事关系：此类教师依据国家事业单位人事管理制度进行管理，与学校建立的是人事关系。他们通过国家统一考试或特定程序进入，其管理、待遇等遵循国家相关规定，如《事业单位人事管理条例》等。
兼职教师或特定劳务提供者：
- 不构成劳动关系：兼职教师通常已与其他单位建立劳动关系，仅在学校提供临时性或短期性教学服务，不构成与学校间的劳动关系。若兼职教师与学校签订的是劳务合同，则双方形成劳务关系。退休教师被返聘，双方签订劳务协议，按课时支付报酬，这种情况下也形成的是劳务关系。
法律背景与建议：
- 法律背景：判断老师与学校之间的法律关系，主要依据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规。该法明确了劳动关系的适用范围和基本原则，对于事业单位与实行聘用制的工作人员，若法律、行政法规或国务院另有规定，则依照其规定执行；未作规定的，依照《劳动合同法》有关规定执行。
- 建议：对于老师而言，了解自己的身份性质和合同类型至关重要。若您是私立学校教师或公立学校聘用制教师，与学校签订了劳动合同，则您与学校构成劳动关系，享有劳动法规定的各项权益。若您是公立学校事业编制教师，则您与学校构成人事关系，需遵循事业单位人事管理制度。若您是兼职教师或特定劳务提供者，则需注意与学校签订的是劳务合同还是劳动合同，以明确双方的权利义务。
可能遇到的法律后果：
- 若老师与学校之间构成劳动关系，而学校未依法签订劳动合同、未支付劳动报酬或未缴纳社会保险等，老师有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求学校承担相应的法律责任。
- 若老师与学校之间构成人事关系，而学校未按照事业单位人事管理制度进行管理或未支付相应的待遇等，老师可向相关部门投诉或寻求法律帮助。
总之，老师与学校之间的法律关系并非一成不变，而是根据具体情况动态变化的。在实际操作中，应依据相关法律法规和具体事实进行综合判断。若您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。