结论：私企与员工解除劳动合同的通知书上使用“开除”这个词是否合法，需根据具体情况判断，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
一、合法情形
符合法定解除条件：
- 如果员工存在严重违反公司规章制度、严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害、被依法追究刑事责任等法定解除劳动合同的情形，且公司能够提供充分证据证明这些情形的存在，那么公司在解除劳动合同通知书上使用“开除”一词，从实质上讲，是符合法律规定的。因为“开除”在这里可以视为公司对员工严重违纪行为的一种处理方式，与法定解除劳动合同的条件相契合。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：（一）在试用期间被证明不符合录用条件的；（二）严重违反用人单位的规章制度的；（三）严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；（四）劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；（五）因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的；（六）被依法追究刑事责任的。
双方协商一致：
- 如果公司与员工就解除劳动合同事宜达成一致意见，且员工同意以“开除”的方式结束劳动关系，那么这种处理方式也是合法的。但需要注意的是，双方协商一致应当建立在平等、自愿的基础上，且不得违反法律法规的强制性规定。
二、不合法情形
不符合法定解除条件：
- 如果员工不存在上述法定解除劳动合同的情形，或者公司无法提供充分证据证明员工存在这些情形，那么公司在解除劳动合同通知书上使用“开除”一词就可能构成违法解除。因为“开除”在这里缺乏法律依据，可能损害员工的合法权益。
- 法律后果：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。
未履行法定程序：
- 即使员工存在法定解除劳动合同的情形，如果公司未按照法定程序进行解除，如未提前通知员工、未听取员工申辩、未通知工会等，那么公司的解除行为也可能被认定为违法。在这种情况下，使用“开除”一词同样可能构成违法解除。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十三条，用人单位单方解除劳动合同，应当事先将理由通知工会。用人单位违反法律、行政法规规定或者劳动合同约定的，工会有权要求用人单位纠正。用人单位应当研究工会的意见，并将处理结果书面通知工会。
三、建议
谨慎使用“开除”一词：
- 公司在解除劳动合同时，应尽量避免使用“开除”等可能引发争议的词汇。更稳妥的做法是使用“解除劳动合同”等中性词汇，并明确说明解除的原因和依据。
完善解除程序：
- 公司在解除劳动合同时，应严格按照法定程序进行，确保解除行为的合法性和有效性。这包括提前通知员工、听取员工申辩、通知工会等步骤。
保留相关证据：
- 公司在解除劳动合同时，应保留好相关证据，如员工违纪的证据、解除劳动合同的通知书、工会意见等。这些证据在后续可能发生的劳动争议中具有重要的证明作用。
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