结论：没签劳动合同第一天去工厂上班被机器烫伤手需要植皮，在符合一定条件下可以认定为工伤。以下从不同角度为你详细分析：
法律关系认定角度
- 劳动关系认定
- 虽然未签订劳动合同，但根据《关于确立劳动关系有关事项的通知》规定，用人单位招用劳动者未订立书面劳动合同，但同时具备下列情形的，劳动关系成立：用人单位和劳动者符合法律、法规规定的主体资格；用人单位依法制定的各项劳动规章制度适用于劳动者，劳动者受用人单位的劳动管理，从事用人单位安排的有报酬的劳动；劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分。
- 在你第一天去工厂上班的情况下，如果工厂对你进行了工作安排、管理，并且你从事的是工厂业务范围内的工作，即使没有签订劳动合同，也大概率会被认定为存在事实劳动关系。例如，工厂安排你操作特定的机器进行生产，并且告知你工作要求和报酬计算方式等，这就符合事实劳动关系的认定条件。
- 工伤认定条件
- 根据《工伤保险条例》第十四条规定，职工有下列情形之一的，应当认定为工伤：（一）在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的。
- 你是在工厂上班期间（工作时间），在工厂内（工作场所），因为操作机器（工作原因）导致手被烫伤需要植皮，完全符合上述工伤认定的情形。所以，只要能够证明存在事实劳动关系，就可以申请工伤认定。
申请流程及所需材料角度
- 申请流程
- 提出申请：用人单位应当自事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。遇有特殊情况，经报社会保险行政部门同意，申请时限可以适当延长。用人单位未按前款规定提出工伤认定申请的，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 受理审查：社会保险行政部门收到工伤认定申请后，应当在15日内对申请人提交的材料进行审核，材料完整的，作出受理或者不予受理的决定；材料不完整的，应当以书面形式一次性告知申请人需要补正的全部材料。社会保险行政部门收到申请人提交的全部补正材料后，应当在15日内作出受理或者不予受理的决定。
- 调查核实：社会保险行政部门受理工伤认定申请后，根据审核需要可以对事故伤害进行调查核实，用人单位、职工、工会组织、医疗机构以及有关部门应当予以协助。职业病诊断和诊断争议的鉴定，依照职业病防治法的有关规定执行。对依法取得职业病诊断证明书或者职业病诊断鉴定书的，社会保险行政部门不再进行调查核实。
- 作出决定：社会保险行政部门应当自受理工伤认定申请之日起60日内作出工伤认定的决定，出具《认定工伤决定书》或者《不予认定工伤决定书》。
- 所需材料
- 工伤认定申请表；
- 与用人单位存在劳动关系（包括事实劳动关系）的证明材料，如工资支付凭证或记录（职工工资发放花名册）、缴纳各项社会保险费的记录、用人单位向劳动者发放的“工作证”、“服务证”等能够证明身份的证件、劳动者填写的用人单位招工招聘“登记表”、“报名表”等招用记录、考勤记录、其他劳动者的证言等；
- 医疗诊断证明或者职业病诊断证明书（或者职业病诊断鉴定书）。
赔偿项目及计算角度
如果被认定为工伤，你可以享受以下赔偿项目：
- 医疗费
- 计算公式：医疗费赔偿金额 = 诊疗金额 + 药品金额 + 住院服务金额
- 说明：医疗费根据医疗机构出具的医药费、住院费等收款凭证，结合病历和诊断证明等相关证据确定。赔偿义务人对治疗的必要性和合理性有异议的，应当承担相应的举证责任。
- 停工留薪期工资
- 计算公式：停工留薪期工资 = 本人工资×停工留薪期月数
- 说明：职工因工作遭受事故伤害或者患职业病需要暂停工作接受工伤医疗的，在停工留薪期内，原工资福利待遇不变，由所在单位按月支付。停工留薪期一般不超过12个月。伤情严重或者情况特殊，经设区的市级劳动能力鉴定委员会确认，可以适当延长，但延长不得超过12个月。工伤职工评定伤残等级后，停发原待遇，按照本章的有关规定享受伤残待遇。工伤职工在停工留薪期满后仍需治疗的，继续享受工伤医疗待遇。
- 护理费
- 计算公式：护理费 = 统筹地区上年度职工月平均工资×50%（或40%、30%）×护理月数
- 说明：生活不能自理的工伤职工在停工留薪期需要护理的，由所在单位负责。工伤职工已经评定伤残等级并经劳动能力鉴定委员会确认需要生活护理的，从工伤保险基金按月支付生活护理费。生活护理费按照生活完全不能自理、生活大部分不能自理或者生活部分不能自理3个不同等级支付，其标准分别为统筹地区上年度职工月平均工资的50%、40%或者30%。
- 一次性伤残补助金（如果构成伤残）
- 计算公式：一次性伤残补助金 = 本人工资×伤残等级对应的月数
- 说明：伤残等级根据劳动能力鉴定结论确定，不同伤残等级对应的月数不同，例如一级伤残为27个月，二级伤残为25个月，以此类推，十级伤残为7个月。
建议：
- 尽快收集能够证明与工厂存在事实劳动关系的证据，如工作证、考勤记录、工友证言等。
- 要求工厂在规定时间内为你申请工伤认定，如果工厂拒绝，你可以在事故伤害发生之日起1年内自行向社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 在治疗过程中，保留好所有的医疗费用发票、病历等资料，以便后续申请赔偿时使用。
如果你还有其他疑问或需要进一步的帮助，可以直接向我咨询。