用人单位需立即启动工伤处理程序，并依法承担连带赔偿责任，但具体责任划分需根据劳务派遣协议及实际情况确定。以下是详细分析：

1. 立即救治与工伤认定申请
   根据《工伤保险条例》第17条，用人单位（实际用工单位）应在事故发生后30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。若未及时申请，在此期间发生的工伤待遇等费用由用人单位承担。
   操作建议：立即将伤者送医，保留医疗记录，并同步通知劳务派遣公司配合申请工伤认定。

2. 劳务派遣公司的法定责任
   根据《劳动合同法》第92条，劳务派遣公司作为劳动者法定雇主，需承担工伤保险责任，包括支付工伤医疗费、一次性伤残补助金等。若派遣公司未依法缴纳工伤保险，则全部赔偿由其承担。
   关键点：用人单位可要求派遣公司提供工伤赔偿支付凭证，确保伤者权益落实。

3. 用人单位的连带赔偿责任
   若工伤因用人单位的工作条件、安全措施等导致（如设备故障、操作规范缺失），根据《民法典》第1192条，用人单位需与派遣公司承担连带赔偿责任。伤者可选择向任一方主张全部赔偿。
   风险规避：用人单位应定期检查工作场所安全，留存安全培训记录，降低连带责任风险。

4. 劳务派遣协议的效力
   若双方协议约定“工伤由派遣公司全责处理”，该条款仅对内部有效，不得对抗伤者。伤者仍有权要求用人单位承担责任，用人单位赔偿后可依协议向派遣公司追偿。
   实务建议：用人单位应在协议中明确派遣公司购买工伤保险的义务，并约定违约赔偿条款。

5. 特殊情形处理

   • 第三方侵权：若工伤由第三人造成（如交通事故），伤者可同时主张工伤保险赔偿和民事侵权赔偿（医疗费除外）。
     
   • 未签劳动合同：若派遣公司未与劳动者签合同，根据《劳动合同法》第82条，需支付双倍工资，但此责任与工伤赔偿并行不悖。

行动清单：

1. 立即送医并通知派遣公司；
   
2. 30日内申请工伤认定；
   
3. 核查派遣公司工伤保险缴纳情况；
   
4. 审查劳务派遣协议条款；
   
5. 保留工作场所安全证据。
   

若涉及复杂责任划分或赔偿争议，可进一步提供具体细节（如事故原因、派遣协议内容等），我将协助分析法律风险及应对策略。