核心结论：劳务派遣员工与用工单位合同到期但发生工伤时，员工仍可依法享受工伤保险待遇，具体处理方式需根据工伤认定阶段、派遣协议约定及用工单位、派遣单位责任划分来确定。以下是详细分析：

一、工伤认定与待遇享受不受合同到期影响

1. 工伤认定时效：根据《工伤保险条例》第十七条，员工发生事故伤害后，用工单位应在30日内向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请；若用工单位未申请，员工或其近亲属可在1年内直接提出申请。合同到期不影响工伤认定的权利，只要在时效内申请即可。
2. 待遇享受：一旦被认定为工伤，员工可依法享受医疗费、停工留薪期工资、伤残补助金等工伤保险待遇。合同到期不终止工伤待遇的支付，即使员工与用工单位合同终止，派遣单位仍需承担工伤保险责任。

二、责任划分：派遣单位与用工单位的义务

1. 派遣单位责任：作为与员工签订劳动合同的用人单位，派遣单位需为员工缴纳工伤保险。若未缴纳，根据《劳动合同法》第九十二条，派遣单位需承担工伤保险待遇的赔偿责任，用工单位可能承担连带责任。
2. 用工单位责任：根据《劳务派遣暂行规定》第十条，用工单位需协助工伤认定的调查核实工作，并按照派遣协议约定支付停工留薪期内的工资福利。若因用工单位原因导致工伤（如未提供安全劳动条件），用工单位可能需承担额外赔偿责任。

三、合同到期后的处理方式

1. 若工伤未认定或治疗未结束：
   
   • 合同到期时，用工单位不得以合同终止为由拒绝协助工伤认定或支付停工留薪期工资。
     
   • 派遣单位需继续履行用人单位义务，包括申请工伤认定、支付待遇等。
     
2. 若工伤已认定且治疗结束：
   
   • 员工可依据《工伤保险条例》享受伤残等级对应的待遇（如一次性伤残补助金、医疗补助金等）。
     
   • 若员工与派遣单位劳动合同也到期，派遣单位需根据伤残等级决定是否续签合同（如五级至十级伤残，员工提出续签的，派遣单位应续签）。

四、实务建议

1. 员工：
   
   • 及时要求用工单位或派遣单位申请工伤认定，保留医疗记录、事故证明等证据。
     
   • 若单位拒绝履行义务，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
     
2. 用工单位与派遣单位：
   
   • 在派遣协议中明确工伤责任划分，避免纠纷。
     
   • 合同到期前，提前评估员工工伤情况，协商处理方案（如续签合同、支付待遇等）。

温馨提示：工伤处理涉及复杂法律程序，若您或身边人遇到此类问题，可直接向我咨询，我会结合具体细节提供更精准的解决方案。