结论：在儿子先去世、母亲后去世的情况下，母亲确实有权继承儿子的遗产，但具体继承方式和份额需根据实际情况确定，主要分为法定继承和遗嘱继承两种情况。
法定继承情况
继承顺序与权利：
- 根据《中华人民共和国民法典》的规定，遗产继承有明确的顺序。在第一顺序继承人中，包括配偶、子女和父母。因此，当儿子去世且未留下遗嘱时，母亲作为第一顺序继承人之一，有权与儿子的配偶、子女（如有）共同继承儿子的遗产。
继承份额的确定：
- 母亲所能继承的具体份额并非固定不变，而是取决于遗产的总额、其他继承人的数量以及是否存在特殊的法律规定或约定。例如，如果儿子留有配偶和其他子女，那么母亲将与这些继承人一起按比例分割遗产。
遗嘱继承情况
遗嘱的效力：
- 若儿子在生前立下了合法有效的遗嘱，则遗产的分配将严格遵循遗嘱的内容执行。此时，母亲的继承权将取决于遗嘱中的具体安排。
母亲作为遗嘱继承人的情况：
- 如果遗嘱中明确指定了母亲为继承人，并分配了相应的遗产份额，那么母亲将按照遗嘱的约定继承这部分遗产。
母亲非遗嘱继承人的情况：
- 如果遗嘱中并未提及母亲或未为其分配遗产，那么母亲原则上无法直接通过遗嘱继承儿子的遗产。但根据《民法典》第一千一百四十一条的规定，遗嘱应当为缺乏劳动能力又没有生活来源的继承人保留必要的遗产份额。如果母亲符合这一条件，即使遗嘱中未明确分配，也应为她保留必要的遗产份额以确保其基本生活需求。
其他考虑因素
其他继承人的存在：
- 在处理遗产继承问题时，还需考虑其他继承人的存在。如儿子的配偶、子女等同样作为第一顺序的继承人，他们的存在会影响遗产的具体分配比例。
遗产的范围与清算：
- 遗产的范围广泛，包括但不限于儿子的个人财产、银行账户余额、房产、车辆以及其他合法财产。在母亲继承遗产前，需要对这些财产进行清算和评估，以确定具体的继承份额。
专业法律帮助的重要性：
- 鉴于遗产继承问题的复杂性和专业性，建议母亲在处理相关事务时寻求专业的法律帮助。作为专业律师，我可以提供详细的法律咨询和遗产分配方案，以确保母亲的合法权益得到充分保护。
举例说明：
假设儿子去世时留下了一套房产和一定数额的银行存款，且未留下遗嘱。在这种情况下，母亲作为第一顺序继承人之一，将与儿子的配偶、子女（如有）共同继承这些遗产。如果儿子没有配偶和子女，那么母亲将独自继承全部遗产。但如果儿子留有遗嘱，并在遗嘱中指定了其他人为继承人或分配了不同的遗产份额，那么母亲的继承权将受到遗嘱内容的限制。
总结与建议：
在儿子先去世、母亲后去世的情况下，母亲确实有权继承儿子的遗产。但具体的继承方式和份额需根据实际情况确定，包括是否留下遗嘱、其他继承人的存在以及遗产的具体范围等因素。因此，建议母亲在处理相关事务时寻求专业的法律帮助，以确保自己的合法权益得到充分保护。如果有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。