结论：被电动车撞后对方逃逸且全责，家人带去医院检查产生的陪护费用是可以索赔的。
法律分析：
责任认定：
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，交通事故发生后，肇事者有义务立即停车，保护现场，抢救伤者，并迅速报告执勤的交通警察或者公安机关交通管理部门。对方逃逸的行为明显违反了这一规定，且如果经交通管理部门认定对方全责，那么对方就需要承担全部的赔偿责任。
陪护费用的性质：
- 陪护费用属于因交通事故导致的直接经济损失，是伤者因受伤而需要他人陪护所产生的合理费用。这种费用是交通事故赔偿中的常见项目，包括但不限于陪护人员的工资、误工费等。
索赔依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。对方逃逸且全责，即存在过错，且该过错导致了您的经济损失（包括陪护费用），因此对方有义务进行赔偿。
索赔流程：
- 首先，您需要收集相关证据，包括交通事故认定书、医院诊断证明、陪护费用发票等，以证明对方的全责以及您因交通事故产生的陪护费用。
- 其次，您可以与对方协商赔偿事宜，如果协商不成，可以向人民法院提起诉讼，要求对方赔偿包括陪护费用在内的各项经济损失。
建议：
- 在处理此类事故时，务必保持冷静，及时报警并保护好现场，以便交通管理部门能够准确认定事故责任。
- 收集并保存好所有与事故相关的证据，包括医疗记录、费用发票等，以便在后续索赔过程中提供有力支持。
- 如果对方逃逸且无法联系，您可以向交通管理部门申请协助查找肇事者，或者通过法律途径追究其责任。
可能后果：
- 如果对方拒绝赔偿或者无法联系到对方，您可能需要通过法律诉讼来维护自己的权益。在诉讼过程中，法院将根据您提供的证据和法律规定来判决对方是否需要赔偿以及赔偿的金额。
- 如果对方确实无力赔偿或者逃逸后无法找到，您可能需要考虑通过其他途径（如保险理赔）来减轻自己的经济损失。但请注意，这需要根据您的具体情况和保险合同条款来确定。
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