结论：针对外卖员全责却不交欠下的住院费这一问题，你可以通过以下几种途径来维护自己的合法权益：一是与外卖员协商解决；二是向外卖平台投诉；三是通过法律途径解决，包括向法院提起诉讼或申请先予执行。
详细分析：
与外卖员协商解决：
- 首先，你可以尝试与外卖员进行直接沟通，了解其不支付住院费的具体原因，并尝试协商出一个双方都能接受的解决方案。例如，可以约定分期付款或提供其他形式的担保。
- 在协商过程中，建议保留好相关证据，如聊天记录、通话录音等，以备后续需要。
向外卖平台投诉：
- 如果外卖员是某外卖平台的注册骑手，你可以向该平台投诉外卖员的行为。外卖平台通常会对骑手的行为进行监管，并有一定的处罚机制。
- 在投诉时，提供详细的事故经过、外卖员的全责证明以及住院费的相关单据，以便平台能够尽快处理你的投诉。
通过法律途径解决：
- 提起诉讼：如果协商和投诉均无果，你可以向法院提起诉讼，要求外卖员支付欠下的住院费。在诉讼过程中，你需要提供充分的证据证明外卖员的全责以及住院费的合理性。
- 申请先予执行：考虑到住院费可能涉及生命健康等紧急情况，你可以在诉讼过程中向法院申请先予执行。先予执行是指法院在终审判决作出之前，因当事人一方生活或生产经营的急需，依法裁定义务人预先履行义务的制度。如果法院认为你的申请符合条件，会裁定外卖员先行支付部分或全部住院费。
法律背景与建议：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。外卖员在交通事故中负全责，因此应当承担你因事故产生的住院费等合理费用。
- 在处理此类纠纷时，建议保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。避免采取过激行为或私下解决，以免引发不必要的法律风险。
- 如果对法律程序不熟悉或担心自己的权益无法得到充分保障，可以寻求专业律师的帮助。作为专注于交通事故领域的律师，我可以为你提供详细的法律咨询和代理服务。
可能后果：
- 如果外卖员仍然拒绝支付住院费，且你通过法律途径成功维权，外卖员可能需要承担额外的法律责任，如支付逾期利息、赔偿金等。
- 如果外卖员确实无力支付住院费，法院可能会根据其经济状况作出相应的判决或调解，如分期付款、减免部分费用等。但无论如何，你的合法权益都将得到法律的保障。