结论：工伤延期合同通知书之后合同到期，劳动鉴定完成之后合同不续签是否合法，需根据工伤职工的伤残等级来判断。具体来说，若工伤职工被鉴定为1-6级伤残，则合同不续签不合法；若被鉴定为7-10级伤残，则合同到期不续签在支付相关费用后是合法的。

分析：

1. 1-6级伤残的情况：

   • 根据《劳动合同法》和《工伤保险条例》的相关规定，若工伤职工被鉴定为1-6级伤残，视为大部分或完全丧失劳动能力。在此情况下，用人单位不得终止劳动合同，而应保留劳动关系，让职工退出工作岗位，并按规定支付伤残津贴等相关待遇。
   • 因此，在1-6级伤残的情况下，即使劳动合同到期，用人单位也不得以合同到期为由不再续签合同，否则将构成违法解除，需承担相应的法律责任。

2. 7-10级伤残的情况：

   • 若工伤职工被鉴定为7-10级伤残，当劳动合同期满时，或者职工本人提出解除劳动合同的，用人单位可以依法终止劳动合同。
   • 但在此情况下，用人单位需由工伤保险基金支付一次性工伤医疗补助金，同时由用人单位支付一次性伤残就业补助金。只有在支付了这些相关费用后，合同到期不续签才是合法的。

法律后果与建议：

• 法律后果：如果用人单位在工伤职工被鉴定为1-6级伤残的情况下，以合同到期为由不再续签合同，将构成违法解除劳动合同，需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
• 建议：对于工伤职工而言，在遇到此类问题时，应及时了解自己的伤残等级，并明确劳动合同的续延或终止事宜。若用人单位拒绝续签合同或未支付相关费用，工伤职工可依法申请劳动仲裁或提起诉讼维护自己的合法权益。同时，也要保留好所有相关的证据材料，如劳动合同、工伤认定书、医疗记录、劳动能力鉴定书等，以便在维权过程中使用。

总结：工伤延期合同通知书之后合同到期，劳动鉴定完成之后合同不续签是否合法，取决于工伤职工的伤残等级。在1-6级伤残的情况下，合同不续签不合法；在7-10级伤残的情况下，合同到期不续签在支付相关费用后是合法的。工伤职工应根据自己的实际情况，及时采取措施维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。