结论：私立学校老师合同期满未续签合同，档案的存放位置需根据具体情况来确定，可能存放在学校、当地教育行政部门或人才交流中心。
分析说明：
档案可能存放在学校：
- 在合同期内，老师的档案通常由学校负责管理。合同期满未续签，如果学校与老师之间没有就档案的转移做出明确约定，且学校愿意继续保管档案，那么档案可能仍暂时存放在学校。但这种情况并非绝对，因为学校可能出于管理考虑，要求老师在合同期满后将档案转走。
档案可能存放在当地教育行政部门：
- 对于公立学校的老师，档案通常由当地教育行政部门统一管理。虽然私立学校的管理体制与公立学校有所不同，但在某些地区或特定情况下，私立学校的老师档案也可能被要求存放在当地教育行政部门。这主要取决于当地的教育政策和规定。
档案可能存放在人才交流中心：
- 如果老师与学校之间的合同关系终止，且老师没有立即找到新的工作单位，那么档案可能会被转至人才交流中心进行托管。人才交流中心是专门提供人事档案托管服务的机构，可以为个人提供档案保管、查询、转递等服务。
后续行动建议：
- 与学校沟通：首先，建议老师与学校的人事部门或相关负责人进行沟通，了解档案的具体存放位置和转移流程。学校作为档案的前管理单位，通常能够提供最直接和准确的信息。
- 咨询当地教育行政部门：如果学校无法提供明确的信息或老师对学校的答复有疑问，可以咨询当地的教育行政部门。教育行政部门作为教育领域的管理机构，对私立学校老师档案的管理政策有更全面的了解。
- 联系人才交流中心：如果老师怀疑档案可能已被转至人才交流中心，可以联系当地的人才交流中心进行查询。人才交流中心通常提供档案查询服务，老师可以通过提供个人身份信息来查询档案的存放情况。
特殊场景提醒：
- 如果老师在合同期满后很快找到了新的工作单位，那么档案可能会直接从原学校转至新单位。这种情况下，老师需要确保新单位能够接收档案，并及时与原学校和新单位沟通档案的转移事宜。
- 如果老师对档案的存放位置有特别要求或需要档案进行某些特定操作（如职称评定、社保办理等），建议提前与相关机构沟通并了解具体流程和要求。
法律依据与参考：
- 虽然具体的档案管理规定可能因地区和学校而异，但一般来说，档案管理应遵循《中华人民共和国档案法》及相关规定。这些法规对档案的收集、整理、保管、利用和处置等方面都做出了明确规定，为档案管理提供了法律保障。
如有更多关于档案存放或合同纠纷的疑问，欢迎直接向我咨询。