当监护人意外死亡时，被监护人本身并不需要承担特定的法律责任，但会涉及到监护关系的变更以及后续监护人的指定问题。以下是对此问题的详细解答：
一、监护关系终止
根据《民法典》的相关规定，监护关系终止的情形之一就是“监护人或者被监护人死亡”。因此，当监护人意外死亡时，原有的监护关系即告终止。
二、后续监护人的指定
在监护关系终止后，如果被监护人仍然需要监护（如未成年子女或暂时丧失完全民事行为能力的成年人），则应当依法另行确定监护人。根据《中华人民共和国未成年人保护法》第九十四条，具有下列情形之一的，民政部门应当依法对未成年人进行长期监护，其中包括“监护人死亡或者被宣告死亡且无其他人可以担任监护人”的情况。此外，其他符合条件的个人或组织，如居民委员会、村民委员会、学校、医疗机构等，也可以根据实际情况和法律规定，申请担任监护人。
三、被监护人的权益保障
生活保障：在监护人死亡后，被监护人的生活可能会受到影响。新的监护人或相关机构（如民政部门）应确保被监护人的基本生活需求得到满足，包括提供必要的生活费用、住所等。
教育保障：对于未成年被监护人，新的监护人或相关机构应确保其接受义务教育，并为其提供必要的教育支持。
财产管理：如果被监护人拥有财产，新的监护人或相关机构应妥善管理这些财产，确保其用于被监护人的利益，并防止财产被滥用或流失。
四、特殊情况下的责任承担
虽然被监护人本身不需要因监护人死亡而承担法律责任，但在某些特殊情况下，如监护人死亡前存在侵害被监护人权益的行为，且该行为与被监护人的损害结果之间存在因果关系，那么可能涉及到遗产继承、损害赔偿等法律问题。然而，这些问题通常与被监护人作为受害者的身份相关，而非其作为被监护人的身份。
五、建议与措施
及时申请变更监护人：在监护人死亡后，相关个人或组织应及时向法院申请变更监护人，以确保被监护人的权益得到及时保障。
加强监督与管理：新的监护人或相关机构应加强对被监护人的监督与管理，确保其生活、教育、财产等方面的权益得到充分保障。
寻求法律援助：如果被监护人或相关个人、组织在变更监护人或保障被监护人权益过程中遇到法律问题，可以寻求专业律师的法律援助。