结论：公司与员工解除劳动合同后员工患病是否可以申请赔偿，需根据具体情况判断，主要涉及解除劳动合同的合法性、患病与解除劳动合同的因果关系以及是否符合工伤认定条件等因素。以下从不同角度进行分析：
一、解除劳动合同的合法性
合法解除：如果公司合法解除劳动合同（如员工严重违反公司规章制度、不能胜任工作且经过培训或调岗后仍不能胜任等），且员工患病与解除劳动合同无直接因果关系，那么员工通常无法仅因患病而要求公司赔偿。但员工仍可享受法定的医疗保险待遇，治疗疾病的相关费用可按医保规定报销。
违法解除：如果公司违法解除劳动合同（如未提前通知、未支付经济补偿、解除理由不成立等），员工有权要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金，并可能要求恢复劳动关系或继续履行劳动合同。在此情况下，如果员工患病与违法解除劳动合同有关（如因解除劳动合同导致员工精神压力增大而患病），员工在主张赔偿金的同时，可尝试主张与患病相关的部分损失，但需提供充分证据证明患病与违法解除劳动合同的因果关系。不过，这种主张在实践中可能面临较大挑战，因为患病原因往往复杂多样，难以直接归因于违法解除劳动合同。
二、患病与解除劳动合同的因果关系
无直接因果关系：如果员工患病与解除劳动合同无直接因果关系（如员工在解除劳动合同前已患病或解除劳动合同后因其他原因患病），那么员工通常无法仅因患病而要求公司赔偿。
有直接因果关系：如前所述，如果员工能证明患病与违法解除劳动合同有直接因果关系，可尝试主张与患病相关的部分损失。但这需要员工提供充分的医疗证据、心理评估报告等，以证明患病与违法解除劳动合同之间的关联性。
三、工伤认定条件
如果员工患病被认定为工伤：根据《工伤保险条例》的规定，员工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害或患职业病，应认定为工伤。如果员工患病符合工伤认定条件（如因长期接触有毒有害物质而患职业病），那么员工有权享受工伤保险待遇，包括医疗费用报销、伤残津贴等。在此情况下，无论公司是否解除劳动合同，员工都有权要求公司承担相应的工伤保险责任。
如果员工患病未被认定为工伤：如果员工患病不符合工伤认定条件，那么员工通常无法享受工伤保险待遇。此时，员工能否要求公司赔偿取决于解除劳动合同的合法性以及患病与解除劳动合同的因果关系等因素。
四、法律建议
收集证据：如果员工认为公司违法解除劳动合同或患病与解除劳动合同有关，应尽快收集相关证据（如劳动合同、解除劳动合同通知书、医疗证据、心理评估报告等），以便在主张权利时提供有力支持。
咨询专业律师：由于劳动纠纷涉及复杂的法律关系和证据规则，建议员工在主张权利前咨询专业律师，以了解自己的权利和义务以及可能的法律后果。
及时主张权利：根据《劳动争议调解仲裁法》的规定，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。因此，员工应在知道或应当知道自己的权利被侵害之日起一年内及时主张权利，以免超过时效期间而丧失胜诉权。
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