结论：在您描述的情况下，即尾随前车出停车场走到一半时道闸杆砸下导致车辆受损，责任归属需结合具体情况判断，但停车管理方通常需承担主要责任。以下从不同角度为您详细分析：
一、停车管理方的责任
设施维护不当：
- 若道闸杆因老化、零部件松动或感应装置失灵等质量问题，导致未能正常起落而砸到车辆，停车管理方需承担侵权责任。根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。停车管理方有义务对停车设施进行定期检查和维护，确保设备正常运行。
操作失误：
- 若停车场工作人员在操作道闸杆时疏忽或不当，如手动降杆时机错误，造成车辆被砸，管理方同样应承担责任。工作人员的行为代表管理方，其过错后果由管理方承担。
二、您的可能责任
违反规定：
- 若您在通过停车场时，存在超速、未按规定车道行驶或未遵守停车场其他规定的行为，可能被认定存在一定的过错。例如，若停车场明确限速5公里/小时，而您以较快速度通过，增加了事故发生的风险，法院可能会根据您的过错程度，适当减轻停车管理方的赔偿责任。
未保持安全距离：
- 若您在尾随前车时未保持足够的安全距离，导致前车通过后道闸杆未及时落下时您已进入危险区域，这也可能影响责任划分。虽然主要责任仍在管理方，但您的行为可能被视为对损害结果的扩大有过错。
三、其他可能责任方
设备供应商：
- 若道闸杆砸车是由于停车管理系统本身存在的质量问题，且该问题是由设备供应商导致的，停车管理方在承担赔偿责任后，有权依据与设备供应商的合同关系，向设备供应商进行追偿。例如，停车杆材质不合格导致的断裂问题。
第三人行为：
- 若道闸杆砸车是由于其他车辆碰撞或第三人恶意推动等行为导致，则碰撞车辆的驾驶员或该第三人应承担侵权责任。同时，若停车管理方未尽到安全保障义务，也需承担补充责任。
四、应对建议
及时沟通协商：
- 发生此类事故后，您应首先与停车管理方进行沟通，说明情况并要求赔偿车辆损失。双方可尝试通过协商解决纠纷。
收集证据：
- 若协商不成，您应尽快收集相关证据，包括现场照片、视频记录、车辆维修记录等，以便后续通过法律途径维护自己的合法权益。这些证据对于确定责任归属和赔偿金额至关重要。
法律途径解决：
- 若无法通过协商解决纠纷，您可考虑向人民法院提起诉讼要求赔偿。在此之前，您可以向我进一步咨询，以获取更专业的法律支持和指导。
总结与建议：在处理此类事件时，应全面考虑各种因素，确保责任划分的公正性和合理性。同时，建议停车管理方加强设施设备的维护和检查，提高工作人员的操作技能和安全意识；您也应遵守停车场规定，注意自身安全。通过这些措施，共同营造一个安全、有序的停车场环境。若您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。