结论：一般情况下，编外聘用人员满10年单位不续签，不能直接起诉要求续签，但可主张经济补偿；特殊情形下，若符合签订无固定期限劳动合同条件，可先通过协商、仲裁等途径要求续签，若仍无法解决可考虑起诉。以下为详细分析：
通常情况下的处理方式
- 劳动关系性质与合同到期处理
- 编外聘用人员通常与单位建立的是劳务关系或者普通的劳动关系（非事业单位在编人员与单位的事业编制劳动关系）。如果是劳务关系，一般以双方签订的劳务合同约定为准，合同到期不续签，通常不存在赔偿问题，也不存在起诉要求续签的法律基础，因为劳务关系更多受《民法典》合同编调整，双方权利义务以合同约定为核心。
- 如果是普通劳动关系，根据《劳动合同法》规定，劳动合同期满，用人单位不续签的，应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。此时，劳动者不能直接起诉要求续签劳动合同，但可以通过劳动仲裁等途径主张经济补偿。
- 主张经济补偿的流程
- 劳动者可以先与单位进行协商，要求单位按照法律规定支付经济补偿。如果协商不成，劳动者可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交相关证据，如劳动合同、工作证明、工资流水等，以证明自己在单位的工作年限和工资标准等事实，要求单位支付经济补偿。对仲裁裁决不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
特殊情况下的处理方式
- 符合签订无固定期限劳动合同条件
- 根据《劳动合同法》第十四条规定，在用人单位连续工作满十年的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。如果编外聘用人员满足在该单位连续工作满十年这一条件，且劳动者提出续签无固定期限劳动合同，而单位拒绝的，劳动者可以先与单位协商，要求续签无固定期限劳动合同。
- 协商不成后的救济途径
- 若协商无果，劳动者可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，请求裁决单位与其续签无固定期限劳动合同。如果对仲裁结果不满意，劳动者可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，要求法院判决单位与其续签无固定期限劳动合同。不过，在实践中，法院一般不会直接判决续签劳动合同，而是可能会判决单位支付违法不续签劳动合同的赔偿金（标准为经济补偿标准的二倍）等。