结论：根据您描述的情况，能否申请赔偿需要视具体情况而定，主要取决于您父亲的病情是否与工作有关，以及是否符合工伤认定的条件。以下从不同角度为您详细分析：
一、工伤认定的基本条件
根据《工伤保险条例》的相关规定，工伤认定通常需要满足以下条件：
- 工作时间和工作场所内：员工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。
- 工作时间前后在工作场所内：员工在工作时间前后在工作场所内，从事与工作有关的预备性或者收尾性工作受到事故伤害的，也应当认定为工伤。
- 工作时间和工作场所内，因履行工作职责：员工在工作时间和工作场所内，因履行工作职责受到暴力等意外伤害的，同样应当认定为工伤。
- 职业病：员工患职业病的，也应当认定为工伤。
- 因工外出期间：员工因工外出期间，由于工作原因受到伤害或者发生事故下落不明的，应当认定为工伤。
- 上下班途中：员工在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的，也应当认定为工伤。
二、您父亲情况的分析
病情与工作是否有关：
- 如果您父亲的病情是由于工作原因导致的，比如长期在恶劣环境下工作引发的疾病，或者工作中突发疾病但与工作有直接关联（如高温作业引发的中暑等），那么有可能符合工伤认定的条件。
- 如果病情与工作无直接关联，比如本身就患有某种疾病，只是在工作期间发病，那么可能不符合工伤认定的条件。
病情加重与死亡是否与工作有关：
- 即使病情本身与工作有关，但如果病情加重和死亡是由于回家后的治疗不当、个人疏忽或其他非工作原因导致的，那么可能不影响工伤的认定，但在赔偿方面可能会有所不同。
- 如果病情加重和死亡直接与工作有关，比如因工作原因导致的疾病未能得到及时治疗而加重，那么更有可能获得工伤赔偿。
工伤认定的程序：
- 您需要向当地的社会保险行政部门提出工伤认定申请，并提供相关证据材料，如医疗证明、工作证明等。
- 社会保险行政部门会进行调查核实，并根据调查结果作出工伤认定决定。
三、可能的赔偿项目
如果您父亲的病情被认定为工伤，那么可能获得的赔偿项目包括：
- 医疗费：包括因治疗工伤而产生的所有合理医疗费用。
- 丧葬补助金：为6个月的统筹地区上年度职工月平均工资。
- 供养亲属抚恤金：按照职工本人工资的一定比例发给由因工死亡职工生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属。
- 一次性工亡补助金：标准为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。
四、建议与行动
- 及时收集证据：包括医疗证明、工作证明、同事证言等，以证明您父亲的病情与工作有关。
- 提出工伤认定申请：尽快向当地的社会保险行政部门提出工伤认定申请，并提交相关证据材料。
- 咨询专业律师：在处理过程中，如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。
总结：您父亲的情况能否申请赔偿，主要取决于病情是否与工作有关以及是否符合工伤认定的条件。建议您及时收集证据并提出工伤认定申请，如有需要请随时向我咨询。