结论：公司是否有义务将生病住院十几天未见好转的员工转至上级医院检查，需根据具体情况判断，一般情况下公司无直接法律义务必须转院，但需承担合理范围内的医疗救治责任。以下从不同角度详细分析：
一、法律层面：公司无强制转院义务，但需履行基本救治责任
根据《工伤保险条例》及《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，公司对患病员工的义务核心是“提供医疗救治”和“保障医疗期权益”，而非直接决定转院。具体分析如下：
医疗救治义务：
员工患病后，公司需及时安排就医，并承担医疗期内的工资、医疗费用等（按社保或公司规定比例报销）。但法律未明确要求公司必须将员工转至上级医院，转院决定通常由医疗机构根据病情判断，而非公司单方面决定。
医疗期保护：
员工因病住院期间，公司不得随意解除劳动合同，且需保障医疗期内的合法权益（如工资、社保等）。但医疗期的长短（一般3-24个月，根据工龄和病情确定）与是否转院无直接关联。
例外情形：
若员工病情危急，而当前医院无法提供有效治疗，医疗机构可能主动建议转院。此时公司需配合办理转院手续，并承担转院后的合理医疗费用（如社保报销后的自费部分）。若公司拒绝转院导致员工损害，可能需承担民事赔偿责任。
二、实践层面：转院需满足“必要性”和“合理性”
即使法律无强制要求，从员工权益保护角度，转院需满足以下条件：
病情必要性：
当前医院出具书面证明，明确病情超出其诊疗能力（如设备、技术限制），需转至上级医院进一步治疗。例如，员工患罕见病或重症，基层医院无法确诊或治疗。
程序合理性：
转院需经医疗机构同意，并由公司协助办理手续（如联系上级医院、协调医保报销等）。若员工自行要求转院，需与公司协商一致，避免因费用承担问题产生纠纷。
费用承担：
转院后的医疗费用原则上由社保基金或公司承担（按比例报销）。若员工要求转至非医保定点医院或超出必要范围的医院，公司可能无需承担全部费用。
三、员工维权建议
若公司拒绝转院且员工认为必要，可采取以下措施：
与医院沟通：
要求当前医院出具书面转院建议，明确病情需要上级医院治疗。
向公司协商：
提供医院证明，与公司协商转院事宜，并明确费用承担方式。
投诉或仲裁：
若公司仍拒绝且因此损害员工健康，可向劳动监察部门投诉，或申请劳动仲裁要求公司承担赔偿责任（如医疗费、误工费等）。
四、总结
公司无直接法律义务必须将生病员工转至上级医院，但需根据病情和医疗机构建议，履行合理范围内的医疗救治责任。若员工病情确实需要转院，公司应配合办理手续并承担合理费用；若公司拒绝且无正当理由，员工可通过法律途径维权。
如有进一步疑问（如具体病情是否符合转院条件、费用承担比例等），可直接向我咨询。