退休教师在私人建筑工程咨询有限公司兼职是否违规，需结合具体情况判断，主要涉及退休人员兼职规定、公司资质及业务合规性、劳动合同或劳务协议的签订等方面。以下从不同角度进行分析：

1. 退休人员兼职规定：

   • 退休人员返聘或兼职，通常不受《劳动合同法》中关于劳动合同期限、工作时间、休息休假等条款的严格限制，因为退休人员已享受养老保险待遇，不再属于劳动法意义上的劳动者。
   • 但退休人员兼职仍需遵守相关法律法规，如不得从事与其原工作单位存在利益冲突的活动，不得泄露原工作单位的商业秘密等。若退休教师原工作单位与兼职公司存在业务竞争或利益关联，且兼职行为可能损害原单位利益，则可能构成违规。

2. 公司资质及业务合规性：

   • 私人建筑工程咨询有限公司需具备相应的资质证书，如工程咨询资质、工程造价咨询资质等，方可从事相关业务。
   • 若公司资质不全或业务存在违规行为（如超范围经营、虚假咨询等），退休教师作为兼职人员，虽不直接承担公司违法违规的法律责任，但若其参与或知晓相关违规行为，可能面临一定的道德风险或法律风险（如协助违法行为的指控）。

3. 劳动合同或劳务协议的签订：

   • 退休教师与兼职公司之间应签订书面劳动合同或劳务协议，明确双方的权利义务、工作内容、报酬支付等条款。
   • 若未签订书面协议，或协议内容存在违法违规条款（如约定不合理的竞业限制、保密义务等），则可能影响退休教师的合法权益，甚至构成违规。

法律建议：

• 退休教师在接受兼职前，应了解兼职公司的资质、业务范围及信誉情况，避免参与违法违规活动。
• 与兼职公司签订书面劳动合同或劳务协议，明确双方的权利义务，保障自身合法权益。
• 若兼职行为可能涉及原工作单位的利益冲突或商业秘密泄露等问题，应提前与原工作单位沟通并获得同意，避免引发不必要的法律纠纷。

可能法律后果：

• 若退休教师兼职行为违反相关法律法规或协议约定，可能面临民事赔偿、行政处罚甚至刑事责任等法律后果。
• 若兼职公司存在违法违规行为，退休教师作为兼职人员虽不直接承担法律责任，但可能因参与或知晓相关行为而面临一定的道德风险或法律风险。

如有具体法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询，我将结合你的具体情况提供专业解答。