结论：员工请假到期后未续假且旷工六天，公司是否可以辞退该员工，需结合具体情况判断，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：

1. 公司规章制度的角度：

   • 规章制度合法有效：如果公司的规章制度中明确规定了旷工达到一定天数（如六天）属于严重违反公司规章制度的行为，并且该规章制度已经通过民主程序制定、公示或告知员工，那么公司有权依据该规章制度辞退旷工的员工。
   • 规章制度未规定或规定不明确：如果公司的规章制度中没有明确规定旷工达到六天可以辞退，或者规定不明确，那么公司直接辞退员工可能面临法律风险。此时，公司应考虑与员工进行协商，或者依据《劳动合同法》的其他规定来处理。

2. 《劳动合同法》的角度：

   • 严重违反用人单位的规章制度：根据《劳动合同法》第三十九条的规定，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。如果旷工六天被认定为严重违反公司规章制度，且公司规章制度合法有效，那么公司可以辞退员工。
   • 其他解除劳动合同的情形：如果旷工六天并未达到严重违反公司规章制度的程度，或者公司规章制度未对此作出规定，公司应考虑是否存在其他解除劳动合同的合法情形，如员工不能胜任工作、劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化等。但这些情形通常需要公司提前与员工协商，或者支付经济补偿金。

3. 程序合法性的角度：

   • 辞退程序合法：即使公司有权辞退旷工的员工，也必须遵循合法的辞退程序。这通常包括向员工发出书面辞退通知、告知辞退理由、听取员工的申辩意见等。如果公司未遵循合法程序辞退员工，可能面临违法解除劳动合同的法律风险。
   • 辞退程序不合法：如果公司未遵循合法程序辞退员工，员工有权要求公司继续履行劳动合同或者支付赔偿金。赔偿金的标准通常为经济补偿金的两倍。

建议：

• 审查公司规章制度：公司应首先审查其规章制度中是否明确规定了旷工达到一定天数可以辞退，以及该规章制度是否合法有效。
• 与员工进行协商：如果公司规章制度未对此作出规定或者规定不明确，公司应考虑与员工进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。
• 遵循合法程序：如果公司决定辞退员工，必须遵循合法的辞退程序，确保辞退行为的合法性。

可能后果：

• 如果公司合法辞退旷工员工，则无需支付经济补偿金或赔偿金。
• 如果公司违法辞退旷工员工，则可能面临支付赔偿金或者继续履行劳动合同的法律风险。

如有更多细节或疑问，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。