结论：竞争对手指使员工威胁讨薪，竞争对手和涉事员工均可能承担法律责任，具体责任需根据威胁行为的性质和后果来判断。

分析说明：

1. 竞争对手的法律责任：

   • 教唆犯罪：如果竞争对手指使员工采取威胁、恐吓等非法手段讨薪，且这些手段构成犯罪（如敲诈勒索、寻衅滋事等），那么竞争对手作为教唆者，将承担与实施者相同的刑事责任。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，教唆他人犯罪的，应当按照他在共同犯罪中所起的作用处罚。
   • 民事侵权：即使威胁行为未构成犯罪，但如果给被威胁方造成了名誉损害、精神损害等民事权益受损，竞争对手也可能承担民事侵权责任，包括赔偿损失、赔礼道歉等。

2. 涉事员工的法律责任：

   • 直接犯罪：如果员工直接实施了威胁、恐吓等非法行为，且这些行为构成犯罪，那么员工将承担相应的刑事责任。例如，如果员工以威胁手段索要财物，可能构成敲诈勒索罪。
   • 民事侵权：同样，如果员工的威胁行为给被威胁方造成了民事权益受损，员工也需要承担民事侵权责任。

3. 威胁行为的性质和后果：

   • 威胁行为的性质：威胁行为的性质是判断其是否构成犯罪的关键。如果威胁行为具有暴力性、持续性或针对特定对象，且足以使对方产生恐惧心理，那么该行为更可能构成犯罪。
   • 威胁行为的后果：威胁行为的后果也是判断其法律责任的重要因素。如果威胁行为导致了被威胁方的人身伤害、财产损失或精神损害等严重后果，那么涉事方将承担更重的法律责任。

行动建议：

• 收集证据：如果遭遇竞争对手指使员工威胁讨薪的情况，首先应收集相关证据，包括威胁的言语、行为记录、证人证言等，以便后续维权。
• 报警处理：如果威胁行为严重，构成犯罪或可能构成犯罪，应及时向公安机关报案，由公安机关依法处理。
• 民事诉讼：如果威胁行为给被威胁方造成了民事权益受损，可以考虑通过民事诉讼途径追究涉事方的民事责任，要求赔偿损失、赔礼道歉等。

后续思考依据：

在处理此类案件时，需综合考虑威胁行为的性质、后果以及涉事方的主观故意等因素。不同情况下，法律责任的承担方式和程度可能有所不同。因此，在具体案件中，需根据实际情况进行具体分析，并咨询专业律师以获取更准确的法律意见。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。